Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

super_woman · 23-11-2008, 03:42 PM

Xét trường toàn phuơng $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3}) $.
1. Tìm vành các phần tử nguyên $O_K $ của $K $
2. Chứng minh $O_K $ sinh bởi một căn bậc 6 của đơn vị $\zeta $.
3. Tính $N_{L/\mathbb{Q}}(a+b\sqrt{-3}) $ và $N_{K/\mathbb{Q}(a+b\zeta) $ với $a,b\in\mathbb{Q} $.
4. Vẽ hình miêu tả ảnh của $O_K $ trong $\mathbb{C} $ qua $\mathbb{Q}- $đồng cấu $\sigma:K\rightarrow \mathbb{C} $ với $\sigma(\zeta)=e^{\frac{i\pi}{3}} $ và chỉ ra rằng $O_K=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\zeta $.
5. Chỉ ra rằng với mỗi $\alpha\in K $ tồn tại $\beta\in O_K $ sao cho $N(\alpha-\beta)\leq \frac{1}{3} $.
(từ đây thì suy ra $O_K $ Euclide).

Câu 1 thì dễ rùi, vì $-3\equiv 1 (mod 4) $ nên $O_K=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-3}] $.
các bạn chỉ mình mấy câu còn lại nhé. Mình làm mà vẫn thấy mâu thuẫn. Mình cần gấp lắm, xin các bạn chỉ giúp. Cám ơn nhiều nhé.

23-11-2008, 03:42 PM	#1
super_woman +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2008 Bài gởi: 2 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts	Bài nhỏ về Lý Thuyết Số Đại Số Xét trường toàn phuơng $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3}) $. 1. Tìm vành các phần tử nguyên $O_K $ của $K $ 2. Chứng minh $O_K $ sinh bởi một căn bậc 6 của đơn vị $\zeta $. 3. Tính $N_{L/\mathbb{Q}}(a+b\sqrt{-3}) $ và $N_{K/\mathbb{Q}(a+b\zeta) $ với $a,b\in\mathbb{Q} $. 4. Vẽ hình miêu tả ảnh của $O_K $ trong $\mathbb{C} $ qua $\mathbb{Q}- $đồng cấu $\sigma:K\rightarrow \mathbb{C} $ với $\sigma(\zeta)=e^{\frac{i\pi}{3}} $ và chỉ ra rằng $O_K=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\zeta $. 5. Chỉ ra rằng với mỗi $\alpha\in K $ tồn tại $\beta\in O_K $ sao cho $N(\alpha-\beta)\leq \frac{1}{3} $. (từ đây thì suy ra $O_K $ Euclide). Câu 1 thì dễ rùi, vì $-3\equiv 1 (mod 4) $ nên $O_K=\mathbb{Z}[\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{-3}] $. các bạn chỉ mình mấy câu còn lại nhé. Mình làm mà vẫn thấy mâu thuẫn. Mình cần gấp lắm, xin các bạn chỉ giúp. Cám ơn nhiều nhé.