[namdung]

Tôi bắt đầu minh họa ý thứ nhất trong lời khuyên của Kanel-Belov và Kovaldzi bằng cách phân tích đề thi VMO 2010. Nếu là cá nhân tôi, tôi sẽ sắp xếp thứ tự làm bài của mình như sau:
1) Bài 2. Bài này hướng đi quá rõ ràng. Trình bày cũng đơn giản. Ở dưới tôi sẽ phân tích rõ các hướng giải quyết và cách trình bày.
2) Bài 1. Bài này đặt ở vị trí bài 1, chắc là không khó.
3) Bài 3. Hình học, dù không phải là sở trường nhưng chắc cũng không khó.
4) Bài 4. Bài này thấy quen quen, vì ít nhất thì tôi cũng biết cái hằng đẳng thức Fibonacci: $ (x^2 + 15y^2)(a^2 + 15b^2) = (xa+15yb)^2 + 15(xb-ya)^2 $. 5) Bài 5. Bài này chắc để làm vào cuối cùng. Tổ hợp thường là khó mà.
Phân tích lời giải bài 1. Lũy thừa n hai vế đẳng thức truy hồi, ta được $ a^n_n = a^{n_1}_{n-1} + 2^{n-1} + 2.3^{n-1) $Từ đây dễ dàng suy ra $ a^n_n = 2^n + 3^n $ Suy ra $a_n = (2^n + 3^n)^{1/n} $ Bây giờ ta chứng minh $a_n $ là dãy số giảm. Có ba hướng suy nghĩ chính
1) Chứng minh $a_n^{n+1} > a_{n+1}^{n+1} $ (khử căn một vế), tức là $a_n(2^n + 3^n) > 2^{n+1}+3^{n+1} $ Điều này tương đương với $(a_n - 2)2^n + (a_n-3)3^n > 0 $ Như vậy chỉ cần chứng minh $a_n > 3 là xong $ mà điều này thì hiển nhiên!
2) Chứng minh $a_n^{n(n+1)} > a_{n+1}^{(n+1)n} $ (khử căn cả hai vế). Trong trường hợp này, ta cần chứng minh $(2^n + 3^n)^{n+1} > (2^{n+1} + 3^{n+1})^{n} $ Khi khai triển ra, chú ý vế trái có $n+2 $ số hạng, còn vế phải có $n+1 $ số hạng, một ý tưởng là chứng minh bằng cách bắt cặp. Nếu làm theo cách này:
1) Phải bắt cặp cho đúng
2) Trình bày chặt chẽ
Trong thực tế nhiều bạn làm theo cách này đã bị trừ điểm hoặc thậm chí không cho điểm vì
1) Bắt cặp sai (dẫn đến các BDT trung gian không đúng)
2) Trình bày ẩu, sơ sài
3) Tính toán nhầm
3) Khảo sát hàm số $f(x) = (2^x+3^x)^{1/x} $ với x > 0và chứng minh hàm số này giảm.
Để chứng minh điều này, ta xét hàm $y = ln f(x) = \frac{ln(2^x+3^x)}{x} $.
Tính đạo hàm y' ta được
$ y = \frac{(2^xln2+3^xln3)x - (2^x+3^x)ln(2^x+3^x)}{x^2(2^x+3^x)} = \frac{2^x(ln2^x - ln(2^x+3^x)) + 3^x(ln3^x - ln(2^x+3^x))}{(2^x+3^x)x^2} <0 $(do $ln2^x < ln(2^x+3^x) $ và $ln(3^x) < ln(2^x+3^x)) $
Vậy y là hàm giảm suy ra f(x) là hàm giảm, suy ra f(n) > f(n+1), tức là $a_n > a_{n+1} $ hay dãy $a_n $ giảm (đpcm). Tôi sẽ tiếp tục phân tích các bài tiếp theo sau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]