Xem bài viết đơn
Old 09-05-2012, 08:37 PM   #5
123456
+Thành Viên+
 
123456's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2008
Đến từ: Ha Noi
Bài gởi: 709
Thanks: 13
Thanked 613 Times in 409 Posts
Thử tính
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\binom{2i}{i}} =\frac{1}{3}+\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}.$$
Đặt $C_n=\frac{1}{\binom{2n}{n}}, n\geq 1$ và $C_0=1$. Xét chuỗi
$$h(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{C_n}{2n+1}x^{2n+1} +2.$$
Ta có $h$ là hàm khả vi liên tục trên $(-2,2)$, $h(0)=2$ và
$$h'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}C_nx^{2n}.$$
$h'(1)$ là giá trị của chuỗi cần tính. Do
$$C_n=\frac{1}{4}C_{n-1}+\frac{1}{4(2n-1)}C_{n-1},$$
nên
$$h'(x)=\frac{x^2}{4}h'(x)+\frac{x}{4}h(x)+\frac{x ^2-x}{2}$$
hay
\begin{equation}\label{de}
h'(x)(4-x^2)-xh(x)-2(x^2-x)=0.
\end{equation}
Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng với phuơng trình trên có dạng $\frac{4}{\sqrt{4-x^2}}$, do đó ta tìm nghiệm của phuơng trình dạng $h(x)=\frac{4C(x)}{\sqrt{4-x^2}}$ với điều kiện $h(0)=2$. từ đó tính được $h(1)$ suy ra $h'(1)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
123456 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to 123456 For This Useful Post:
batigoal (11-05-2012), magician_14312 (09-05-2012), tienanh_tx (15-05-2012)
 
[page compression: 8.52 k/9.60 k (11.18%)]