Xem bài viết đơn
Old 16-07-2018, 10:04 AM   #7
vnt.hnue
Moderator
 
Tham gia ngày: Sep 2016
Bài gởi: 23
Thanks: 26
Thanked 15 Times in 8 Posts
Bài số 2
Coi $a_{n+1},a_{n+2}$ như $a_{1},a_{2}$, ta được hệ hoán vị vòng quanh.
Giải thử với trường hợp $n=3$, ta được nghiệm $-1,-1,2$, nhận thấy với $n=3k$ thì cũng thỏa mãn (ghép bộ trên $k$ lần).
Ta sẽ chứng minh $n=3k$ là tất cả các giá trị thỏa mãn đề bài, bằng cách chứng minh nếu có dãy số thực $a_{n}$ thỏa mãn điều trên thì sẽ đan dấu theo dạng $+,-,-,+,-,-,....$
Chứng minh được thực hiện qua 4 nhận xét như sau:
Nhận xét 1 : Không có số nào trong dãy bằng 0.
Thật vậy, nếu tồn tại $a_{i}=0$, dãy sẽ trở thành dãy tăng từ $a_{i+3}$, vì hệ hoán vị vòng quanh nên suy ra được $a_{i}>0$, vô lý.
Nhận xét 2 Không có 2 số dương đứng cạnh nhau, không có 3 số âm đứng cạnh nhau.
Tương tự như ở trên, khi 2 số dương đứng cạnh nhau ta sẽ suy ra dãy tăng. 3 số âm không thể đứng cạnh nhau có được trực tiếp từ $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}$
Nhận xét 3 Dãy không đan dấu theo dạng $+,-,+,-,...$
Từ $a_{1}a_{2}+1=a_{3}$ suy ra $(a_{1}-1)(a_{2}-1)=a_{3}-a_{2}-a_{1}$ .
Nếu dãy đan dấu như trên, có ngay mọi số dương đều bé hơn 1, vì $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}$, do đó $(a_{1}-1)(a_{2}-1)>0$ dẫn đến $a_{3}-a_{2}-a_{1}>0$ hay $a_{3}>a_{2}+a_{1}$. Không mất tính tổng quát, giả sử $a_{2k}$ dương, suy ra $a_{3}>a_{1}$. Thực hiện tương tự suy ra dãy $a_{2k+1}$ là dãy tăng, tương tự như trên, điều này vô lý.
Nhận xét 4 Không có 5 phần tử đứng cạnh nhau có đan dấu dạng $+,-,+,-,-$
Đánh giá 5 phần tử trên, ta cũng sẽ rút được một dãy con giảm, suy ra vô lý.
Vậy dãy phải đan dấu theo dạng $+,-,-,+,-,-,...$
$n$ không thể bằng $3k+1$ hay $3k+2$ theo các nhận xét 2 và 4.
Với mọi $n$ chia hết cho 3, ta đã chỉ ra được dãy thỏa mãn ở trên.
Vậy $n=3k$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: vnt.hnue, 16-07-2018 lúc 10:11 AM
vnt.hnue is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to vnt.hnue For This Useful Post:
ncthanh (16-07-2018), zinxinh (16-07-2018)
 
[page compression: 9.58 k/10.71 k (10.63%)]