Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Đề Ra Kì Này

**magician_14312** · 15-09-2012, 02:33 PM

Số 423 - Tháng 9/2012

CÁC LỚP THCS

$\fbox{Bài T1/423.}$ (Lớp 6). Tìm số có năm chữ số các nhau $\overline{abcde}$, biết rằng $\overline{abcd}=(5e+1)^2$.

$\fbox{Bài T2/423.}$ (Lớp 7). Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+3=2^y$ và $3x+1=4^z$.

$\fbox{Bài T3/423.}$ Tìm chữ số tận cùng của $S=1^2+2^2+3^3+...+n^n+...+2012^{2012}$.

$\fbox{Bài T4/423.}$ Cho hàm số $f$ thỏa mãn
$$f\left ( 1+\frac{\sqrt{2}}{x} \right )=\frac{(1+2011)x^2+2\sqrt{2}x+2}{x^2},$$
xác định với mọi $x$ khác $0$. Tính $f\left ( \sqrt{2012-\sqrt{2011}} \right )$.

$\fbox{Bài T5/423.}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $T$. Đường thẳng qua $T$ và song song với $BC$ cắt $AB$ và $AC$ tương ứng tại $B_1$ và $C_1$.
Chứng minh rằng $\widehat{B_1OC_1}$ là góc nhọn.

CÁC LỚP THPT

$\fbox{Bài T6/423.}$ Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $ABC_1,BCA_1,CAB_1$ và dựng vào phía trong tam giác $ABC$ các tam giác đều $ABC_2, BCA_2, CAB_2$. Gọi $G_1, G_2, G_3$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC_1, BCA_1, CAB_1$ và gọi $G_4, G_5 ,G_6 $ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC_1, BCA_2, CAB_2$.
Chứng minh rằng trọng tâm tam giác $G_1G_2G_3$ trùng với trọng tâm tam giác $G_4G_5G_6$.

$\fbox{Bài T7/423.}$ Giải phương trình:
$$3^{3^x}+3^x= \log_3 (2^x+x)+2^x+3^{2^x+x}.$$

$\fbox{Bài T8/423.}$ Giả sử $A, B, C$ là ba góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\frac{\cos A \cos B}{\cos C}}+\sqrt{\frac{\cos B \cos C}{\cos A}}+\sqrt{\frac{\cos C \cos A}{\cos B}}>2.$$

TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN

$\fbox{Bài T9/423.}$ Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất $(n \ge 3)$ sao cho tồn tại một dãy các số nguyên dương $a_1, a_2, ..., a_n$ thỏa mãn điều kiện
$$a_{k+1}+1=\frac{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}, \, k \in \left \{ 2,3,...,n-1 \right \}.$$

$\fbox{Bài T10/423.}$ Cho $p$ là số nguyên tố lẻ, $n$ là số nguyên dương sao cho các số $p-1, p, n, n+1$ từng đôi một nguyên tố cùng nhau. Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn
$$x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+2=y^{n+1}.$$

$\fbox{Bài T11/423.}$ Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
& \sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3(x+y) \\
& \sqrt{2x+y+1}+2\sqrt[3]{7x+12y+8}=2xy+y+5.
\end{cases}$$

$\fbox{Bài T12/423.}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. $AI, BI, CI$ theo thứ tự cắt lại đường tròn $(O)$ tại $A', B', C'; \, A'C', A'B'$ theo thứ tự cắt $BC$ tại $M,N; \, B'A', B'C'$ theo thứ tự cắt $CA$ tại $P, Q; \, C'B', C'A'$ theo thứ tự cắt $AB$ tại $R,S$.
Chứng minh rằng $\dfrac{2}{3}S_{ABC}\leq S_{MNPQRS}\leq \dfrac{2}{3}S_{A'B'C'}.$

15-09-2012, 02:33 PM	#3
magician_14312 Moderator Tham gia ngày: Jan 2011 Đến từ: Solar System Bài gởi: 367 Thanks: 201 Thanked 451 Times in 220 Posts	Số 423 - Tháng 9/2012 CÁC LỚP THCS $\fbox{Bài T1/423.}$ (Lớp 6). Tìm số có năm chữ số các nhau $\overline{abcde}$, biết rằng $\overline{abcd}=(5e+1)^2$. $\fbox{Bài T2/423.}$ (Lớp 7). Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+3=2^y$ và $3x+1=4^z$. $\fbox{Bài T3/423.}$ Tìm chữ số tận cùng của $S=1^2+2^2+3^3+...+n^n+...+2012^{2012}$. $\fbox{Bài T4/423.}$ Cho hàm số $f$ thỏa mãn $$f\left ( 1+\frac{\sqrt{2}}{x} \right )=\frac{(1+2011)x^2+2\sqrt{2}x+2}{x^2},$$ xác định với mọi $x$ khác $0$. Tính $f\left ( \sqrt{2012-\sqrt{2011}} \right )$. $\fbox{Bài T5/423.}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $T$. Đường thẳng qua $T$ và song song với $BC$ cắt $AB$ và $AC$ tương ứng tại $B_1$ và $C_1$. Chứng minh rằng $\widehat{B_1OC_1}$ là góc nhọn. CÁC LỚP THPT $\fbox{Bài T6/423.}$ Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $ABC_1,BCA_1,CAB_1$ và dựng vào phía trong tam giác $ABC$ các tam giác đều $ABC_2, BCA_2, CAB_2$. Gọi $G_1, G_2, G_3$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC_1, BCA_1, CAB_1$ và gọi $G_4, G_5 ,G_6 $ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC_1, BCA_2, CAB_2$. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác $G_1G_2G_3$ trùng với trọng tâm tam giác $G_4G_5G_6$. $\fbox{Bài T7/423.}$ Giải phương trình: $$3^{3^x}+3^x= \log_3 (2^x+x)+2^x+3^{2^x+x}.$$ $\fbox{Bài T8/423.}$ Giả sử $A, B, C$ là ba góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng: $$\sqrt{\frac{\cos A \cos B}{\cos C}}+\sqrt{\frac{\cos B \cos C}{\cos A}}+\sqrt{\frac{\cos C \cos A}{\cos B}}>2.$$ TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN $\fbox{Bài T9/423.}$ Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất $(n \ge 3)$ sao cho tồn tại một dãy các số nguyên dương $a_1, a_2, ..., a_n$ thỏa mãn điều kiện $$a_{k+1}+1=\frac{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}, \, k \in \left \{ 2,3,...,n-1 \right \}.$$ $\fbox{Bài T10/423.}$ Cho $p$ là số nguyên tố lẻ, $n$ là số nguyên dương sao cho các số $p-1, p, n, n+1$ từng đôi một nguyên tố cùng nhau. Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $$x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+2=y^{n+1}.$$ $\fbox{Bài T11/423.}$ Giải hệ phương trình $$\begin{cases} & \sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3(x+y) \\ & \sqrt{2x+y+1}+2\sqrt[3]{7x+12y+8}=2xy+y+5. \end{cases}$$ $\fbox{Bài T12/423.}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. $AI, BI, CI$ theo thứ tự cắt lại đường tròn $(O)$ tại $A', B', C'; \, A'C', A'B'$ theo thứ tự cắt $BC$ tại $M,N; \, B'A', B'C'$ theo thứ tự cắt $CA$ tại $P, Q; \, C'B', C'A'$ theo thứ tự cắt $AB$ tại $R,S$. Chứng minh rằng $\dfrac{2}{3}S_{ABC}\leq S_{MNPQRS}\leq \dfrac{2}{3}S_{A'B'C'}.$ __________________ ...THE MILKY WAY...