IMO 2018 - Đề thi, lời giải và kết quả đội tuyển.

**tikita** · 09-07-2018, 02:16 PM

IMO 2018 năm nay được tổ chức tại CLUJ-NAPOCA - ROMANIA, từ ngày 03 - 14 tháng 7 năm 2018. Việt Nam tham dự với 6 thành viên như sau:

Trần Việt Hoàng (lớp 12, THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng)
Trương Mạnh Tuấn (lớp 12, Trường THPT chuyên KHTN-ĐHQGHN)
Nguyễn Quang Bin (lớp 12, Trường THPT chuyên KHTN-ĐHQGHN)
Đỗ Hoàng Việt (lớp 12, THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp)
Phan Minh Đức (lớp 11, THPT chuyên Hà Nội- Amsterdam)
Trịnh Văn Hoàn (lớp 12, THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng).

Bài thi ngày thứ nhất (09/07/2018).

Bài 1: Cho $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ theo thứ tự sao cho $AD = AE$. Trung trực của $BD$ và $CE$ cắt các cung nhỏ $AB$ và $AC$ của $\Gamma$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng các đường thẳng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau.

Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên $n(n\geq 3)$ sao cho tồn tại các số thực $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thỏa mãn $a_{n+1}=a_1,a_{n+2}=a_2$ và
$$a_i.a_{i+1}+1=a_{i+2},\forall i=1...n.$$

Bài 3: Một tam giác anti Pascal là một mảng tam giác đều gồm các số sao cho: ngoại trừ các số ở hàng dưới cùng, mỗi số là gia số của hai số ở ngay bên dưới nó. Ví dụ, sau đây là một tam giác anti Pascal với bốn hàng chứa mọi số nguyên từ $1$ đến $10$

$$4$$$$ 2 \quad 6 $$$$ 5 \quad 7 \quad 1 $$$$ 8 \quad 3 \quad 10 \quad 9 $$
Có tồn tại một tam giác anti Pascal với $ 2018 $ hàng và chứa mọi số nguyên từ $1$ đến $1 + 2 + 3 + \dots + 2018$ không?

Bài thi ngày thứ hai (10/07/2018).

Bài 4: Một vị trí là một điểm $(x;y)$ trên mặt phẳng sao cho $x,y$ là các số nguyên dương bé hơn hoặc bằng $20$. Lúc đầu tất cả $400$ ví trí đều trống. Ánh và Bảo lần lượt đặt các viên đá vào các vị trí trống với Ánh là người đi trước. Trong mỗi lượt của mình, Ánh đặt một viên đá màu đỏ vào một vị trí trống sao cho khoảng cách giữa hai viên đá màu đỏ bất kỳ là khác $\sqrt{5}$ và Bảo đặt một viên đá màu xanh vào một vị trí trống bất kỳ. Hai bạn sẽ dừng lại khi một trong hai người không thể đặt được các viên đá. Tìm số $K$ lớn nhất sao cho Ánh luôn đặt được ít nhất $K$ viên đá mà không phụ thuộc cách đặt đá của Bảo.

Bài 5: Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n - 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z , \quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\; ,\forall\,m\ge M$.

Bài 6: Một tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn $AB \cdot CD $ = $ BC \cdot DA $. Điểm $ X $ nằm bên trong tứ giác $ ABCD $ sao cho $$ \angle{XAB} = \angle{XCD}\quad \text{ và} \quad\angle{XBC} = \angle{XDA} $$
Chứng minh rằng $ \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^0 $.

09-07-2018, 02:16 PM	#1
tikita Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts	IMO 2018 - Đề thi, lời giải và kết quả đội tuyển. IMO 2018 năm nay được tổ chức tại CLUJ-NAPOCA - ROMANIA, từ ngày 03 - 14 tháng 7 năm 2018. Việt Nam tham dự với 6 thành viên như sau: Trần Việt Hoàng (lớp 12, THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng) Trương Mạnh Tuấn (lớp 12, Trường THPT chuyên KHTN-ĐHQGHN) Nguyễn Quang Bin (lớp 12, Trường THPT chuyên KHTN-ĐHQGHN) Đỗ Hoàng Việt (lớp 12, THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp) Phan Minh Đức (lớp 11, THPT chuyên Hà Nội- Amsterdam) Trịnh Văn Hoàn (lớp 12, THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng). Bài thi ngày thứ nhất (09/07/2018). Bài 1: Cho $\Gamma$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn $ABC$. Các điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ theo thứ tự sao cho $AD = AE$. Trung trực của $BD$ và $CE$ cắt các cung nhỏ $AB$ và $AC$ của $\Gamma$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng các đường thẳng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau. Bài 2: Tìm tất cả các số tự nhiên $n(n\geq 3)$ sao cho tồn tại các số thực $a_1,a_2,...,a_{n+2}$ thỏa mãn $a_{n+1}=a_1,a_{n+2}=a_2$ và $$a_i.a_{i+1}+1=a_{i+2},\forall i=1...n.$$ Bài 3: Một tam giác anti Pascal là một mảng tam giác đều gồm các số sao cho: ngoại trừ các số ở hàng dưới cùng, mỗi số là gia số của hai số ở ngay bên dưới nó. Ví dụ, sau đây là một tam giác anti Pascal với bốn hàng chứa mọi số nguyên từ $1$ đến $10$ $$4$$$$ 2 \quad 6 $$$$ 5 \quad 7 \quad 1 $$$$ 8 \quad 3 \quad 10 \quad 9 $$ Có tồn tại một tam giác anti Pascal với $ 2018 $ hàng và chứa mọi số nguyên từ $1$ đến $1 + 2 + 3 + \dots + 2018$ không? Bài thi ngày thứ hai (10/07/2018). Bài 4: Một vị trí là một điểm $(x;y)$ trên mặt phẳng sao cho $x,y$ là các số nguyên dương bé hơn hoặc bằng $20$. Lúc đầu tất cả $400$ ví trí đều trống. Ánh và Bảo lần lượt đặt các viên đá vào các vị trí trống với Ánh là người đi trước. Trong mỗi lượt của mình, Ánh đặt một viên đá màu đỏ vào một vị trí trống sao cho khoảng cách giữa hai viên đá màu đỏ bất kỳ là khác $\sqrt{5}$ và Bảo đặt một viên đá màu xanh vào một vị trí trống bất kỳ. Hai bạn sẽ dừng lại khi một trong hai người không thể đặt được các viên đá. Tìm số $K$ lớn nhất sao cho Ánh luôn đặt được ít nhất $K$ viên đá mà không phụ thuộc cách đặt đá của Bảo. Bài 5: Cho $a_1,\,a_2,\,\ldots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Giả sử tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho\[\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} + \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} + \ldots + \frac{{{a_{n - 1}}}}{{{a_n}}} + \frac{{{a_n}}}{{{a_1}}} \in \mathbb Z , \quad\forall\,n\ge N.\]Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $a_{m+1}=a_m\; ,\forall\,m\ge M$. Bài 6: Một tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn $AB \cdot CD $ = $ BC \cdot DA $. Điểm $ X $ nằm bên trong tứ giác $ ABCD $ sao cho $$ \angle{XAB} = \angle{XCD}\quad \text{ và} \quad\angle{XBC} = \angle{XDA} $$ Chứng minh rằng $ \angle{BXA} + \angle{DXC} = 180^0 $.