Đề thi chọn đội tuyển trường THPT số 1, Bình Định

[quocbaoct10]

Câu 1 ngày 2:
cho $Z $ chạy từ giá trị 1 cho đến 606. từ đó pt tương đương với $x+y=2013-2z $ (1) rồi đếm từng số bộ nghiệm bằng phương pháp dãy nhị phân, ta sẽ tìm được số bộ $(x,y) $ cho pt (1) là $2014-2z $. Số bộ nghiệm là tổng của số bộ $(x,y) $ trong từng trường hợp z chạy từ 1 đến 606. Vậy, số bộ (x,y,z) thỏa yêu cầu đề là $2+4+6+...+2012 $.
Câu 4 khó vật.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ikariam123]

Nguyên văn bởi ikariam123

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ có $E, F$ thuộc cạnh $BC$sao cho $\angle BAE=\angle EAF=\angle FAC$.
a) CM $\frac{AE^{2}+AF^{2}}{EF^{2}}\geq \frac{BC^{2}}{AC^{2}+AB^{2}}$
b) Gọi $I, K$ làn lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BAF, CAE$. Giả sử $\frac{AE.AF}{AB.AC}=\frac{(1+\sqrt{5})\sqrt{5+ \sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}.\sqrt{ \frac{5- \sqrt{5} }{10}}.\tfrac{EF}{BC}$ , chứng minh $(AIB)$ và $(AKC)$ tiếp xúc nhau

sao không ai giải hình học hết vậy? nhìn gai quá àh ?
Câu 3a) Dễ thấy AE, AF là các tia phân giác góc BAF, CAE
từ đó ta chứng minh được
$AE^{2} = AF.AB - BE.EF$
$AF^{2}=AE.AC-CF.EF$
cộng vế theo vế, chuyển vế ta có:
$AE^{2}+AF^{2}+EF(BE+CF)=AF.AB+AE.AC$ (1)
Xét tam giác $AEF$, chú ý góc $EAF$ nhọn, ta có
$AE^{2}+AF^{2} \geq EF^{2}$,
Thế vào (1), đồng thời áp dụng BDT BCS cho vế phải của (1), ta có
$EF^{2}.BC^{2} \leq (AE^{2}+AF^{2})(AB^{2}+AC^{2})$
Đẳng thức không xảy ra do $\angle EAF < 90^{o}$
------------------------------
Câu 3b
$(AIB), (AKC)$ tiếp xúc nhau khi và chỉ khi $\angle BAC = 108^{o}$ hay $\angle EAF = 36^{o}$
Lại có $\frac{AE.AF.BC}{AB.AC.EF}=\frac{sinBAC}{sinEAF}$
và $\frac{(1+\sqrt{5})\sqrt{5+ \sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}.\sqrt{ \frac{5- \sqrt{5} }{10}} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}$
nên ta chỉ việc c/m $\frac{sin108^{o}}{sin36^{o}}= \frac{1+ \sqrt{5}}{2}$
là xong
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ntuan5]

Câu 4 ngày 2 có điều kiện các số nguyên dương hay là số nguyên thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ikariam123]

Nguyên văn bởi ntuan5

Câu 4 ngày 2 có điều kiện các số nguyên dương hay là số nguyên thôi.

đề chỉ cho giả thiết là số nguyên nhưng bạn có thể chứng minh chúng dương nhờ giả thiết " tổng $n+1$ số bất kỳ trong chúng lớn hơn tổng $n$ số còn lại" như sau:
$a_{1}+a_{2}+..+a_{n+1} > a_{n+2}+...+a_{2n+1}>a_{2}+..+a_{n+1}$
suy ra $a_{1}>0$ và $a_{2n+1}>a_{2n}>...>a_{1}>0$
Vậy $2n+1$ số đã cho đều dương

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]