Đề kiểm tra Đội tuyển Vòng 1 - Chuyên Bến Tre

[lhgah12397]

Bài 1
Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Đường phân giác trong của góc $B$ cắt cạnh $AC$ tại $D$. Biết rằng $BC = BD + AD$. Tính $\widehat{BAC}$.

Bài 2
Trong không gian cho 3 tia $Ox, Oy, Oz$ không đồng phẳng với $Oz\perp mp(xOy)$, $\widehat{xOy}=\alpha ,(0< \alpha< \frac{\pi}{2} )$. Gọi $A, B, C$ là các điểm lần lượt nằm trên $Ox, Oy, Oz$ sao cho $C$ cố định, $A$ và $B$ di động thỏa mãn: $\frac{a}{OA}+\frac{b}{OB}=1$. Tìm quỹ tích hình chiếu của $C$ lên $AB$.

Bài 3
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục và thỏa mãn đồng thời:
i) $f(1)=2013$
ii) $f(x+y)=2013^{y}f(x)+2013^{x}f(y)$; $\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Bài 4
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $2(x+y)+xy=x^{2}+y^{2}$.

Bài 5
Tính số dãy nhị phân dộ dài n có 2 bit 0 liên tiếp.

Bài 6
Cho 2 số thực $x, y$ thay đổi thỏa mãn điều kiện: $4x^{2}+9y^{2}+4x+12y+4=0$.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{2(2x+1)(2x+18y+13)}{12xy+18y^{2}+8x+30y+1 3}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[AnhIsGod]

Cho mình hỏi câu 5 là có ít nhất hay có đúng 2 bit 0.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lhgah12397]

Nguyên văn bởi AnhIsGod

Cho mình hỏi câu 5 là có ít nhất hay có đúng 2 bit 0.

Đề chỉ ghi vậy. Theo mình là có ít nhất 2 bit 0
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Bài 5:xét trường hợp mà có thể không tồn bit 0 nào đứng cạnh nhau. gọi $r \ge 2$ là số bit 0 trong dãy nhị phân, ta thấy r không thể lớn hơn $[\frac{n}{2}]$. Ta sẽ đếm số dãy nhị phân mà không tồn tại 2 bit 0 đứng cạnh nhau. Gọi $b_1, b_2,...,b_r$ là các bit 0 nằm trong dãy theo thứ tự từ trái sang. gọi $a_1$ là số các bit 1 đứng trước $b_1$, $a_{t}$ số bit 1 nằm giữa $b_{t-1}$ và $b_t$($t \le r$) , $a_{r+1}$ là số các bit 1 đứng sau $b_r$. Từ đấy, ta có: $a_1+a_2+...+a_{r+1}=n-r$, từ đó, đổi biến $a_2, a_3, ..., a_r$ và áp dụng công thức của bài toán chia kẹo, ta được kết quả $C_{n-r+1}^{r}$ nên số dãy nhị phân n mà không có bit 0 nào cạnh nhau là: $\sum_{r=2}^{[\frac{n}{2}]} C_{n-r+1}^{r}$. số dãy nhị phân có k bit 0 bất kì trong dãy n là:$\sum_{k=2}^{n} C_{n}^{k}$. Vậy số dãy nhị phân độ dài n có 2 bit 0 liên tiếp là:$\sum_{k=2}^{n} C_{n}^{k}-\sum_{r=2}^{[\frac{n}{2}]} C_{n-r+1}^{r}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pco]

Nguyên văn bởi lhgah12397

Bài 4
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $2(x+y)+xy=x^{2}+y^{2}$.

Phương trình tương đương với $(x-y)^2+(x-2)^2+(y-2)^2=8 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaygiaocht]

Nguyên văn bởi lhgah12397

Bài 1
Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Đường phân giác trong của góc $B$ cắt cạnh $AC$ tại $D$. Biết rằng $BC = BD + AD$. Tính $\widehat{BAC}$.

Bài 2
Trong không gian cho 3 tia $Ox, Oy, Oz$ không đồng phẳng với $Oz\perp mp(xOy)$, $\widehat{xOy}=\alpha ,(0< \alpha< \frac{\pi}{2} )$. Gọi $A, B, C$ là các điểm lần lượt nằm trên $Ox, Oy, Oz$ sao cho $C$ cố định, $A$ và $B$ di động thỏa mãn: $\frac{a}{OA}+\frac{b}{OB}=1$. Tìm quỹ tích hình chiếu của $C$ lên $AB$.

Bài 3
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục và thỏa mãn đồng thời:
i) $f(1)=2013$
ii) $f(x+y)=2013^{y}f(x)+2013^{x}f(y)$; $\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Bài 4
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $2(x+y)+xy=x^{2}+y^{2}$.

Bài 5
Tính số dãy nhị phân dộ dài n có 2 bit 0 liên tiếp.

Bài 6
Cho 2 số thực $x, y$ thay đổi thỏa mãn điều kiện: $4x^{2}+9y^{2}+4x+12y+4=0$.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{2(2x+1)(2x+18y+13)}{12xy+18y^{2}+8x+30y+1 3}$.

Ngần này mà làm trong 180 phút thì khó mà kịp được nhỉ?
Về câu hình đầu tiên ra ở đây không hợp lý lắm vì thường thì diễn biến tâm lý của học sinh sẽ là "vui (vì thấy quen và biết cách giải là vẽ tam giác đều) -> bực (vì không nhớ ra cách giải nên đành tính toán)"

Lời giải bằng tính toán như sau:

Đặt $AB=AC=b>0, BC=a>0, x=\dfrac{a}{b}>0 $.
Theo bài ra $a=\dfrac{b^2}{a+b}+\dfrac{a.\sqrt{b(a+2b)}}{a+b} $.
Biến đổi được $x. \sqrt{x+2}=x^2+x-1 $ hay $(x+1)(x^3-3x+1)=0 $.
Lại có $x=2 \cos B $ ta có $\cos 3B=\dfrac{-1}{2} $ suy ra $B=40^0. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[blackholes.]

Nguyên văn bởi lhgah12397

Bài 1
Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$. Đường phân giác trong của góc $B$ cắt cạnh $AC$ tại $D$. Biết rằng $BC = BD + AD$. Tính $\widehat{BAC}$.

Bài 2
Trong không gian cho 3 tia $Ox, Oy, Oz$ không đồng phẳng với $Oz\perp mp(xOy)$, $\widehat{xOy}=\alpha ,(0< \alpha< \frac{\pi}{2} )$. Gọi $A, B, C$ là các điểm lần lượt nằm trên $Ox, Oy, Oz$ sao cho $C$ cố định, $A$ và $B$ di động thỏa mãn: $\frac{a}{OA}+\frac{b}{OB}=1$. Tìm quỹ tích hình chiếu của $C$ lên $AB$.

Bài 3
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ liên tục và thỏa mãn đồng thời:
i) $f(1)=2013$
ii) $f(x+y)=2013^{y}f(x)+2013^{x}f(y)$; $\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Bài 4
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $2(x+y)+xy=x^{2}+y^{2}$.

Bài 5
Tính số dãy nhị phân dộ dài n có 2 bit 0 liên tiếp.

Bài 6
Cho 2 số thực $x, y$ thay đổi thỏa mãn điều kiện: $4x^{2}+9y^{2}+4x+12y+4=0$.
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{2(2x+1)(2x+18y+13)}{12xy+18y^{2}+8x+30y+1 3}$.

Bải 3:
Đặt $f\left ( x \right )= 2013^{x}g\left ( x \right )$ thì $g(x)$ liên tục và thỏa $g(1)=1$ và $g(x+y)=g(x)+g(y)$ nên $g(x)=x$ suy ra $f(x)=2013^{x}x$
Bài 6:
Giả thiêt tương đương $(2x+1)^{2}+(3y+2)^2=1$.Đặt $a=2x+1$,$b=3y+2$ thì ta được $a^2+b^2=1$ và $P=\frac{2a(a+6b)}{2ab+2b^{2}+1}$ và đây là dạng quen thuộc
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Bài 5:xét trường hợp mà có thể không tồn bit 0 nào đứng cạnh nhau.

Thực ra em có thể làm đơn giản hơn theo cách tiếp cận trên.

Gọi $S(n)$ là số xâu nhị phân thỏa mãn điều kiện mà có độ dài $n$.
Nếu bit cuối là 1 thì chỉ cần xâu có độ dài $n-1$ trước đó thỏa mãn là được, có $S(n-1)$ xâu như thế.
Nếu bit cuối là 0 thì bit kế cuối phải là 1 và cũng cần xâu có độ dài $n-2$ trước đó thỏa mãn là được, có $S(n-2)$ xâu như thế.
Do đó, $S(n)=S(n-1)+S(n-2)$. Ta cũng có $S(1)=2,S(2)=3$ nên suy ra $S(n)=F_{n+2}$ với $F_n$ là số Fibonacci thứ $n$.

Đáp số của bài toán là $2^n - F_{n+2}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]