Đề thi các trường và các tỉnh năm học 2010-2011 - Lời giải và bình luận

[namdung]

Do năm học này Bộ tổ chức thi quốc gia sớm nên vào dịp cuối tháng 9 này, các trường và các tỉnh đã bắt đầu rục rịch tổ chức thi chọn đội tuyển. Nhằm giúp các bạn có thêm những góc nhìn khác nhau về đề thi của các trường, các tỉnh, có thêm tài liệu để tự ôn tập, đồng thời thấy tự tin hơn trước những bài toán khó và lạ, chúng tôi tiếp tục tổ chức hoạt động Sưu tầm, giải và bình luận đề thi chọn học sinh giỏi của các trường và các tỉnh năm học 2010-2011.

Như thường lệ, chúng tôi chia các bài toán thi thành các chuyên mục sau:

1. Phương trình và hệ phương trình
2. Bất đẳng thức và cực trị
3. Đa thức và phương trình hàm
4. Dãy số
5. Hình học
6. Số học
7. Tổ hợp

Cách thức thực hiện hết sức đơn giản. Tôi sẽ tổng hợp các đề bài theo chuyên mục và gửi lên dần. Các bạn tham gia giải và gửi về cho tôi theo địa chỉ: trannamdung@ovi.com. Tôi sẽ tổng hợp lại và chuyển cho bạn canvbq để chuyển sang Latex.

Kết quả cuối cùng của chúng ta sẽ là một cuốn E-book dành cho tất cả các bạn yêu toán.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Tôi gửi các bài cho chuyên mục

1) Phương trình và hệ phương trình
2) Bất đẳng thức

Các bạn cùng chung tay giải (chi tiết) và bình luận nhé.

Namdung
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[truongvoki_bn]

Nguyên văn bởi namdung

Tôi gửi các bài cho chuyên mục

1) Phương trình và hệ phương trình
2) Bất đẳng thức

Các bạn cùng chung tay giải (chi tiết) và bình luận nhé.

Namdung

B1:
Đặt $ \frac{x}{z}=a;\frac{y}{x}=b;\frac{z}{y}=c $
Khi đó a;b;c>0 và abc=1 =>$a+b+c\ge 3 $
Khi đó P= $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{13 }{3(ab+bc+ca)} $
Áp dụng BDT Cosi-svac
$=>P\ge a+b+c+\frac{13}{(a+b+c)^2} $
đặt t=a+b+c
xét hàm số $f(t)=t+\frac{13}{t^2} $ trên [3;+vô cực]
$f'(t)=\frac{t^3-26}{t^3}>0 $
=> f(t) đồng biến trên[3;+vô cực]
=>$f(t)\ge f(3)=\frac{40}{9} $
dấu= xảy ra khi a=b=c=1 hay x=y=z
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

B1:
Đặt $ \frac{x}{z}=a;\frac{y}{x}=b;\frac{z}{y}=c $
Khi đó a;b;c>0 và abc=1 =>$a+b+c\ge 3 $
Khi đó P= $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{13 }{3(a+b+c)} $
Áp dụng BDT Cosi-svac
$=>P\ge a+b+c+\frac{13}{3(a+b+c)}=\frac{13(a+b+c)}{27} $+$\frac{13}{3(a+b+c)}+\frac{14(a+b+c)}{27}\ge \frac{40}{9} $
dấu = xảy ra khi a=b=c=1 => x=y=z

Có vẻ khá hấp tấp, khi đặt như vậy, $P $ không phải như trên đâu, nhìn kĩ lại nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ttnq]

Bài hệ phương trình số 1 trong phần pthpt là bài USA TST 2009
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[YUGI_94_K51]

Bài hệ phương trình thứ 2 ở: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Hiện nay đã có một bạn gửi cho tôi lời giải đầy đủ của 7 bài bất đẳng thức. Tôi đang hiệu chỉnh lại và bình luận thêm trước khi gửi lên lại.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vanquan96]

Giải bài hệ pt 4
từ pt (1) suy ra
${y}^{2}-{x}^{2}=ln({x}^{2}+1)-ln({y}^{2}+1)\Leftrightarrow ln({x}^{2}+1)+{x}^{2}=ln({y}^{2}+1)+{y}^{2} $

Xét hàm số $f(t)=ln({t}^{2}+1)+{t}^{2}, t\geq 0 $
tính f' chứng minh f(t) đồng biến

suy ra ${x}^{2}={y}^{2} $
Đến đây thì dễ rồi
------------------------------
Giải pt thứ 5
Đặt $u=2x+1, v=\sqrt{y-2} $
Biến đổi pt(1) thành $2{u}^{3}+u=2{v}^{3}+v $
từ đây suy ra u=v
thay vào pt (2)
suy ra $\sqrt{2v}+\sqrt{2{v}^{2}+8}=6 $
xét hàm số $f(t)=\sqrt{2t}+\sqrt{2{t}^{2}+8}, t>0 $
f'(t)> 0 với mọi t>0
mà f(2)=6 suy ra v=2 là nghiệm duy nhất
từ đây suy ra x=1/2, y=6
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Tôi gửi lời giải phần phương trình và hệ phương trình do huynhcongbang giải và bình luận và tôi hiệu đính, bổ sung. Các bạn có đóng góp gì cứ thêm vào nhé.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Tiếp theo là đề bài phần Tổ hợp
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Dạo này thấy anh em hưởng ứng ít quá nhỉ? Chắc vẫn chưa có đề hay? Phần tổ hợp đang cần các cao thủ trợ giúp đấy.

Dưới đây tôi gửi tiếp đề bài phần Dãy số.

Cảm ơn thầy Từ Hữu Sơn đã gửi cho tôi đề chọn đội tuyển tỉnh Hà Tĩnh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinh1b]

Nguyên văn bởi namdung

Cảm ơn thầy Từ Hữu Sơn đã gửi cho tôi đề chọn đội tuyển tỉnh Hà Tĩnh.

Thầy cho e xin đề chọn tuyển HT được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi namdung

Dưới đây tôi gửi tiếp đề bài phần Dãy số.

Già rồi nên yếu tay , chỉ mới làm được bài 2a) 3,4,6,7,8,9

Còn lại bài 1,2b,5
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[namdung]

Tôi tiếp tục gửi các bài toán hình học (phần này nhiều bài nhất). Nhờ các cao thủ hình học giúp sức nhé.

Phần tổ hợp vẫn chưa có ai động tĩnh gì.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thien tai]

Thầy giử phần PTH đi cho em xin làm phần này được không ạ.!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]