|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
24-02-2016, 09:32 AM | #1 |
Administrator | Tiểu trường xuân toán học miền Nam 2016 - Đề kiểm tra số 1 Tiểu trường Xuân toán học miền Nam 2016 Vietnam TST 2016 MOCK Test 1 Ngày thi: 24/2/2016 Thời gian làm bài: 240 phút Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$ Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong (O), ngoại tiếp (I). Gọi (J) là đường tròn Euler và H là trực tâm tam giác. Đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E. Điểm T di động trên (J) và đường thẳng qua T vuông góc với HT cắt (O) ở M, N. Dựng hình bình hành MHNK. a) Chứng minh rằng K luôn di chuyển trên một đường cố định khi T thay đổi. b) Đường tròn (S) tiếp xúc ngoài với (J) và tiếp xúc với AB, AC tại X, Y. Gọi Z là trực tâm của tam giác ADE. Chứng minh rằng tứ giác AXZY là hình thoi. Bài 3. Một cấp số cộng các số nguyên dương gồm ít nhất 3 số hạng được gọi là chuẩn nếu tích các số hạng của nó là ước số của một số có dạng $ n^2 + 1 $. a) Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng chuẩn với công sai 12. b) Chứng minh rằng không tồn tại cấp số cộng chuẩn với công sai 10 và 11. c) Cấp số cộng chuẩn với công sai bằng 12 có thể có nhiều nhất bao nhiêu số hạng? |
The Following User Says Thank You to namdung For This Useful Post: | huynhcongbang (24-02-2016) |
25-02-2016, 06:04 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2015 Bài gởi: 6 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts | Bài 3. a) Chọn CSC $5, 17, 29, \cdots$. Khi đó $\left(\frac{-1}{5}\right) = \left(\frac{-1}{17}\right) = \left(\frac{-1}{29}\right) = 1$. Nghĩa là tồn tại $a, b, c$ sao cho với $x \equiv a \pmod{5}$ thì $x^{2} + 1 \vdots 5$ (tương tự cho $17, 29$). Ta có hệ đồng dư: $$\begin{cases} n\equiv a\pmod{5} \\ n\equiv b\pmod{17} \\ n\equiv c\pmod{29}\end{cases}$$ Do $(5; 17) = (17;29) = (29; 5) = 1$ nên theo định lý thặng dư Trung Hoa tồn tại $n$ để $n^{2} + 1 \vdots 5\times 17\times 29$ b) Gọi 3 số hạng luôn có mặt của dãy là $a, b, c$ Bổ đề 1. Mọi số nguyên dạng $4k + 3$ luôn có ước nguyên tố dạng $4n + 3$. Bổ đề 2. Khồng tồn tại $p\in \mathbb{P}$ dạng $4k + 3$ sao cho $p\mid n^{2} + 1$ với $n$ tự nhiên nào đó. TH1. $d = 10$. Giả sử tồn tại thoả có bộ chuẩn với $d = 10$. Nếu $a \equiv 0\pmod{2}$ thì $b, c$ cũng vậy. Do đó $4\mid abc$. Mặt khác, $n^{2} + 1 \equiv 1 \text{hoặc} 2\pmod{4}$. Do đó $abc\nmid n^{2} + 1$. Nếu $a$ lẻ thì toàn bộ số hạng đều lẻ. Nếu $a \equiv 1\pmod{4}$ thì $b\equiv 3\pmod{4}$. Theo bổ đề 1 tồn tại số nguyên tố dạng $4k + 3$. Do đó $(4k + 2)\mid n^{2} + 1$, vô lí. Nếu $a\equiv 3\pmod{4}$ thì tương tự cũng có điều vô lí. TH2. $d = 11$. Cũng giả sử ngược lại. Nếu $a \equiv 0\pmod{4}$ thì $4\mid abc$ và ta cũng có điều vô lí. Nếu $a \equiv 2\pmod{4}$ thì $c\equiv 0\pmod{4}$, dẫn đến $4\mid 8\mid abc$, vô lí. Nếu $a \equiv 3\pmod{4}$ thì cũng vô lí. Nếu $a\equiv 1\pmod{4}$ thì $c \equiv 3\pmod{4}$ cũng dẫn đến điều vô lí. Tóm lại không có bộ chuẩn công sai $10$ hay $11$ (nói chung là không có bộ chuẩn công sai dạng $4k + 2$ hay $4k + 3$). |
The Following User Says Thank You to trungnghia215 For This Useful Post: | namdung (26-02-2016) |
25-02-2016, 09:29 PM | #3 | |
Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts | Trích:
$$\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)\leq \dfrac{1}{2}((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)+(a+b+c)\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$ Hay $$1\leq\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c ^2)}}$$ Ta có đẳng thức sau $$(a+b+c)^2=3[1-\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}](a^2+b^2+c^2)$$ Do đó $$\dfrac{a+b+c}{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}=\sqrt{1-\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}}$$ Vì vậy ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức $$1\leq\dfrac{t}{2\sqrt{3}}+\sqrt{1-\dfrac{t}{3}}.$$ Với $t=\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a^2+b^2+c^2)}$ và $0\leq t\leq 2$. Mà bất đẳng thức này đúng hiển nhiên. Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $a=b=c$. | |
The Following User Says Thank You to tikita For This Useful Post: | namdung (26-02-2016) |
25-02-2016, 11:05 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2012 Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh Bài gởi: 165 Thanks: 793 Thanked 216 Times in 93 Posts | Trích:
Chứng minh $k=k_0=3\sqrt{3}-4$ là hằng số nhỏ nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $a,b,c>0:$ $$3k(ab+bc+ca)+3 \sqrt{3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)} \le (k+1)(a+b+c)^2.$$ Khi $k=\sqrt{3}>k_0$ ta có hệ quả $$\dfrac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b +c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \dfrac{a+b+c}{3}.$$ __________________ https://www.facebook.com/thaygiaocht | |
27-02-2016, 04:06 PM | #5 |
Administrator Tham gia ngày: Jun 2012 Bài gởi: 157 Thanks: 2 Thanked 84 Times in 53 Posts | Vietnam TST 2016 MOCK Test 2 Ngày thi:26/02/2016 Thời gian làm bài: 240 phút Bài 4.
Bài 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ bán kính $R$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$ bán kính $r$ và có các đường trung tuyến là $AA_1,BB_1,CC_1$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $S$ và giả sử $AS$ cắt $BC$ tại $A_2$. Các điểm $B_2,C_2$ được xác định tương tự. Chứng minh rằng $$\frac{AA_2}{AA_1}+ \frac{BB_2}{BB_1}+ \frac{CC_2}{CC_1} \ge 1+ \frac{4r}{R}.$$ Bài 6. Cho số nguyên dương $n$. Gọi $B^{n+1}$ là tập tất cả các xâu nhị phân độ dài $n+1$, tức là $$B^{n+1}= \left \{ a_na_{n-1} \cdots a_0 \mid a_i \in \{ 0,1 \} \forall i=0,1, \cdots , n \right \}.$$ Với mỗi xâu $a=a_na_{n-1} \cdots a_0$ thuộc $B^{n+1}$ ta gọi $s(a)=a_n+a_{n-1}+ \cdots +a_0 \pmod 2$ là bit kiểm tra của xâu $a$ và $v(a)=a_n2^n+a_{n-1}2^{n-1}+ \cdots + a_1 \cdot 2+a_0$ là giá trị của xâu $a$. Gọi $B_0^{n+1}, B_1^{n+1}$ tương ứng là tập hợp tất cả các xâu nhị phân có độ dài $n+1$ có bit kiểm tra tương ứng là $0$ và $1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k\leq n$, ta có đẳng thức $$\sum_{a \in B_0^{n+1}}(v(a))^k= \sum_{a \in B_1^{n+1}}(v(a))^k.$$ Theo VMF |
28-02-2016, 03:22 PM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Đến từ: Tp.HCM Bài gởi: 85 Thanks: 12 Thanked 79 Times in 32 Posts | Trích:
$$\frac{ab+bc+ca+k_0\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a +b+c+k_0\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}.$$ Bài toán 1 của đề thi là trường hợp $k = 1 < k_0.$ __________________ The Simplest Solution Is The Best Solution | |
04-03-2016, 10:53 AM | #7 |
Administrator | Đề thi và đáp án 2 ngày của Tiểu trường xuân miền Nam |
The Following 3 Users Say Thank You to namdung For This Useful Post: |
24-04-2016, 02:04 PM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Bài gởi: 149 Thanks: 26 Thanked 17 Times in 14 Posts | Cám ơn T Dũng |
Bookmarks |
|
|