Đề Ra Kì Nà y - Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ

[magician_14312]

Số 421 - Tháng 7/2012

CÁC LỚP THCS

$\fbox{Bài T1/421.}$ (Lớp 6). Cho tổng gồm $2012$ số hạng $S=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5^2}+\dfrac{3}{5^3}+ \dfrac{4}{5^4}+...+\dfrac{2012}{5^{2012}}$
Hãy so sánh $S$ với $\dfrac{1}{3}$.

$\fbox{Bài T2/421.}$ (Lớp 7). Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=40^{\circ}, \widehat{ACB}=30^{\circ}$. Bên ngoài tam giác đó dựng tam giác $ADC$ có $\widehat{ACD}= \widehat{CAD}=50^{\circ}$. Chứng minh rằng tam giác $BAD$ cân.

$\fbox{Bài T3/421.}$ Tìm tất cả các số tự nhiên $a,b,c$ với $c<20$ thỏa mãn $a^2+ab+b^2=70c$.

$\fbox{Bài T4/421.}$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P=\sqrt{1-\frac{x}{y+z}}+\sqrt{1-\frac{y}{z+x}}+\sqrt{1-\frac{z}{x+y}}$$
trong đó $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

$\fbox{Bài T5/421.}$ Cho đường tròn $(O)$, dây cung $BC$ cố định. $A$ là điểm di động trên đường thẳng $BC$, $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AM, AN$ với đường tròn $(O), \,\ (M,N \in (O))$. Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AM$ cắt $MN$ tại $E$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEN$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $A$ di động trên đường thẳng $BC$.

CÁC LỚP THPT

$\fbox{Bài T6/421.}$ Cho $\dfrac{1}{3}<x \le \dfrac{1}{2}$ và $y \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{\left[(4x-1)y-x\right]^2}.$$

$\fbox{Bài T7/421.}$ Cho dãy số thực dương $(a_n), \, n=0,1,...$ được xác định như sau:
$a_0=1 $
$a_m < a_n$ với mọi $m,n \in \mathbb{N}, \,\ m<n$
$a_n=\sqrt{a_{n+1}.a_{n-1}}+1$ và $4\sqrt{a_n}=a_{n+1}-a_{n-1}$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$.

Tính tổng $T=a_0+a_1+a_2+...+a_{2012}$.

$\fbox{Bài T8/421.}$ Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$, đáy là tam giác đều cạnh $a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và $B'I \perp (ABC)$. Tính khoảng cách từ điểm $B'$ đến mặt phẳng $(ACC'A')$ theo $a$.

TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN

$\fbox{Bài T9/421.}$ Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn $P^2(x)-1=4P(x^2-4x+1)$.

$\fbox{Bài T10/421.}$ Tìm $\alpha , \beta $ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left | \cos x + \alpha \cos 2x + \beta \cos 3x \right |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\fbox{Bài T11/421.}$ Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh là $a,b,c$. Gọi $S$ và $p$ lần lượt là diện tích và nửa chu vi của tam giác đó. Chứng minh bẩ đẳng thức
$$\frac{1}{a^2(p-a)^2}+\frac{1}{b^2(p-b)^2}+\frac{1}{c^2(p-c)^2} \ge \frac{9}{4S^2}.$$

$\fbox{Bài T12/421.}$ Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $BC > CA > AB$. Trên $(O)$ ta lấy sáu điểm phân biệt $M, N, P, Q ,R, S$ (không trùng với bất cứ đỉnh nào của tam giác $ABC$) sao cho $QB=BC=CR; \,\ SC=CA=AM$ và $NA=AB=BP$.

Gọi $I_A, I_B $ và $I_C$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $APS, \,\ BNR $ và $CMQ$. Chứng minh rằng $\Delta I_A I_B I_C \sim \Delta ABC$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trầm]

Số 422 - Tháng 8/2012

CÁC LỚP THCS

$\fbox{Bài T1/422.}$ (Lớp 6).
Cho $A=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2011}-\dfrac{1}{2012}$ và $B=\dfrac{1}{1007}+\dfrac{1}{1008}+...+\dfrac{1}{2 012}$. Hãy tính $\left(\dfrac{A}{B}\right)^{2012}$.

$\fbox{Bài T2/422.}$ (Lớp 7). Cho đa thức $f(x)$ với các hệ số nguyên thỏa mãn $f(3).f(4)=5$. Chứng minh rằng đa thức $f(x)-6$ không có nghiệm nguyên.

$\fbox{Bài T3/422.}$ Tìm các số nguyên $a, b, c$ sao cho $2^a+8b^2-3^c=283$.

$\fbox{Bài T4/422.}$ Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$, $\widehat{ABC}=45^0$ và $\widehat{ACB}=120^o$. Lấy $I$ trên tia đối của tia $CB$ sao cho $\widehat{AIB}=75^o$. Tính độ dài $AI$ theo $a, b, c$.

$\fbox{Bài T5/422.}$ Điểm $K$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $AK^2=AB.AC-KB.KC$ khi và chỉ khi $AB=AC$ hoặc $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$.

CÁC LỚP THPT

$\fbox{Bài T6/422.}$ Cho tam giác $ABC$ không cân có $BC=a,CA=b,AB=c$. Gọi $(AA_1,AA_2),(BB_1,BB_2),(CC_1,CC_2)$ lần lượt là các đường trung tuyến và đường cao của tam giác tương ứng với các đỉnh $A, B, C$. Chứng minh rằng $$\dfrac{a^2}{b^2-c^2}\overrightarrow{A_1A_2}+\dfrac{b^2}{c^2-a^2}\overrightarrow{B_1B_2}+\dfrac{c^2}{a^2-b^2}\overrightarrow{C_1C_2}$$

$\fbox{Bài T7/422.}$ Cho $a, b, c \in (0;1)$ thỏa mãn $ab+bc+ca+a+b+c=1+abc$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1+a}{1+a^2}+\dfrac{1+b}{1+b^2}+\dfrac{1+c }{1+c^2} \le \dfrac{3}{4}(3+\sqrt{3})$$

$\fbox{Bài T8/422.}$ Cho tam giác nhọn $ABC$ có số đo các góc lớn hơn $45^o$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{2}{1+\tan A}+\dfrac{2}{1+\tan B}+\dfrac{2}{1+\tan C} \le 3(\sqrt{3}-1)$$
Đẳng thức xảy ra khi nào?

TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN

$\fbox{Bài T9/422.}$ Xét hai dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ được xác định như sau: $$\begin{cases}a_0=3,b_0=-3\\a_n=3a_{n-1}+2b_{n-1},\quad n \ge 1\\b_n+4a_{n-1}+3b_{n-1},\quad n \ge 1\end{cases}$$
Tìm tất cả những số tự nhiên $n$ để $\displaystyle \prod_{k=0}^{n} \left(b_k^2+9\right)$ là số chính phương.

$\fbox{Bài T10/422.}$ Cho $n$ là số nguyên dương. Có bao nhiêu xâu kí tự độ dài $n$: $a_1a_2...a_n$, với kị tự $a_i$ lấy trong tập số ${0,1,2,...,9}\quad (i=1,2,...,n)$ mà số lần số $0$ xuất hiện trong xâu kí tự đó là số chẵn (tức số lần xuất hiện số $0$ là $0, 2, 4, 6,8,...$)?

$\fbox{Bài T11/422.}$ Cho dãy số thực $(u_n)$ được xác định bởi $u_0=a\in[0;2), u_n=\dfrac{u_{n-1}^2-1}{n}$ với mọi $n=1,2,3,...$. Tìm $ \displaystyle \lim \limits_{n \to +\infty} \left(u_n\sqrt{n}\right)$.

$\fbox{Bài T12/422.}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với các đường cao $AD, BE, CF$; $AA'$ là đường kính của$(O)$. $A'B,A'C$ cắt $AC,AB$ lần lượt tại $M, N, P, Q$ thuộc $EF$ sao cho $PB, QC$ vuông góc với $BC$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $QN, PM$ lần lượt cắt $(O)$ tại $X, Y$. Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $X, Y$ cắt nhau tại $J$. Chứng minh rằng $JA'$ vuông góc với $BC$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magician_14312]

Số 423 - Tháng 9/2012

CÁC LỚP THCS

$\fbox{Bài T1/423.}$ (Lớp 6). Tìm số có năm chữ số các nhau $\overline{abcde}$, biết rằng $\overline{abcd}=(5e+1)^2$.

$\fbox{Bài T2/423.}$ (Lớp 7). Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+3=2^y$ và $3x+1=4^z$.

$\fbox{Bài T3/423.}$ Tìm chữ số tận cùng của $S=1^2+2^2+3^3+...+n^n+...+2012^{2012}$.

$\fbox{Bài T4/423.}$ Cho hàm số $f$ thỏa mãn
$$f\left ( 1+\frac{\sqrt{2}}{x} \right )=\frac{(1+2011)x^2+2\sqrt{2}x+2}{x^2},$$
xác định với mọi $x$ khác $0$. Tính $f\left ( \sqrt{2012-\sqrt{2011}} \right )$.

$\fbox{Bài T5/423.}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $T$. Đường thẳng qua $T$ và song song với $BC$ cắt $AB$ và $AC$ tương ứng tại $B_1$ và $C_1$.
Chứng minh rằng $\widehat{B_1OC_1}$ là góc nhọn.

CÁC LỚP THPT

$\fbox{Bài T6/423.}$ Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $ABC_1,BCA_1,CAB_1$ và dựng vào phía trong tam giác $ABC$ các tam giác đều $ABC_2, BCA_2, CAB_2$. Gọi $G_1, G_2, G_3$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC_1, BCA_1, CAB_1$ và gọi $G_4, G_5 ,G_6 $ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ABC_1, BCA_2, CAB_2$.
Chứng minh rằng trọng tâm tam giác $G_1G_2G_3$ trùng với trọng tâm tam giác $G_4G_5G_6$.

$\fbox{Bài T7/423.}$ Giải phương trình:
$$3^{3^x}+3^x= \log_3 (2^x+x)+2^x+3^{2^x+x}.$$

$\fbox{Bài T8/423.}$ Giả sử $A, B, C$ là ba góc của một tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\frac{\cos A \cos B}{\cos C}}+\sqrt{\frac{\cos B \cos C}{\cos A}}+\sqrt{\frac{\cos C \cos A}{\cos B}}>2.$$

TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN

$\fbox{Bài T9/423.}$ Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất $(n \ge 3)$ sao cho tồn tại một dãy các số nguyên dương $a_1, a_2, ..., a_n$ thỏa mãn điều kiện
$$a_{k+1}+1=\frac{a_k^2+1}{a_{k-1}+1}, \, k \in \left \{ 2,3,...,n-1 \right \}.$$

$\fbox{Bài T10/423.}$ Cho $p$ là số nguyên tố lẻ, $n$ là số nguyên dương sao cho các số $p-1, p, n, n+1$ từng đôi một nguyên tố cùng nhau. Tìm các số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn
$$x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+2=y^{n+1}.$$

$\fbox{Bài T11/423.}$ Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}
& \sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3(x+y) \\
& \sqrt{2x+y+1}+2\sqrt[3]{7x+12y+8}=2xy+y+5.
\end{cases}$$

$\fbox{Bài T12/423.}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. $AI, BI, CI$ theo thứ tự cắt lại đường tròn $(O)$ tại $A', B', C'; \, A'C', A'B'$ theo thứ tự cắt $BC$ tại $M,N; \, B'A', B'C'$ theo thứ tự cắt $CA$ tại $P, Q; \, C'B', C'A'$ theo thứ tự cắt $AB$ tại $R,S$.
Chứng minh rằng $\dfrac{2}{3}S_{ABC}\leq S_{MNPQRS}\leq \dfrac{2}{3}S_{A'B'C'}.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trầm]

Số 424 - Tháng 10/2012

CÁC LỚP THCS

$\fbox{Bài T1/424.}$ Tìm tất cả các số gồm $2$ chữ số sao cho khi nhân số đó với $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ thì tổng các chữ số của chúng đều bằng nhau.

$\fbox{Bài T2/424.}$ Cho $S= \dfrac{2}{2013+1}+
\dfrac{2^2}{2013^2+1}+...+\dfrac{2^{2014}}{2013^{2 014} +1}$. So sánh $S$ với $\dfrac{1}{1006}$.

$\fbox{Bài T3/424.}$ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$$(y-2)x^2+(y^2-6y+8)x=y^2-5y+62$$

$\fbox{Bài T4/424.}$ Cho $x, y$ là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức: $$x^2+y^2+ \left(\dfrac{xy+1}{x+y} \right)^2=2$$ Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.

$\fbox{Bài T5/424.}$ Giả sử $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác lồi $ABCD$. $E, F, H$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $B, C, O$ đến $AD$. Chứng minh rằng: $AD.BE.CF \ge AC.BD.OH$

CÁC LỚP THPT

$\fbox{Bài T6/424.}$ Xét các số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\dfrac{b^3+5}{b^3(c+a)}+ \dfrac{c^3+5}{c^3(a+b)} \ge 9$$

$\fbox{Bài T7/424.}$ Giải phương trình:
$$\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}+1 \right)^4=
3 \left(x^4+\dfrac{1}{x^4}+1 \right)^3$$

$\fbox{Bài T8/424.}$ Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{BAC}<90^{\circ}$. Giả sử $P$ là 1 điểm thuộc miền trong tam giác ABC sao cho $\widehat{BAP}=\widehat{ACP}, \widehat{CAP}=\widehat{ABP}$. Gọi $M, N$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABP$, $ACP$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{AC}+\dfrac{ 1 }{AP}$$

TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN

$\fbox{Bài T9/424.}$ Giải phương trình:
$$[x]^3+2x^2=x^3+2[x]^2$$

$\fbox{Bài T10/424.}$ Cho một hình vuông có cạnh $1$. Bên trong hình vuông này có $n$ hình tròn có tổng diện tích lớn hơn $n-1$. Chứng minh rằng tồn tại $1$ điểm của hình vuông này nằm trong các hình tròn đó.

$\fbox{Bài T11/424.}$ Cho phương trình: $a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n=0$ có $n$ nghiệm số phân biệt.
Chứng minh rằng: $\dfrac{n}{n-1} > \dfrac{2a_0a_2}{a_1^2}$

$\fbox{Bài T12/424.}$. Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$, tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ là $I_a$. $AI \cap BC=D$, đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI_a$ cắt $AC$ tại $M$. Gọi $E$ là giao của $BI$ và $AC$. Chứng minh rằng $DE$ đi qua trung điểm của $IM$.

Qua bài này mình cũng xin ý kiến một chút. Mình cảm ơn bạn tranghieu95 đã post đề, nhưng lần sau nếu bạn, hoặc ai đó có post thì nên post lại chính xác tất cả những gì có trong đề, đừng ghi tắt chỗ nào cả, vậy thì không nên .
Hiện giờ mình chưa có báo, bạn nào phát hiện chỗ nào chưa chuẩn thì gửi tin nhắn cho mình hoặc bất kì mod nào để sửa nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]