Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số > Chuyên Đề

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 03-01-2008, 12:38 AM   #1
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Bài tập về đa thức bất khả quy

Topic này đặt ở đây cũng được , ở box Đại số cũng được. Mình chọn ở đây vì bên box kia đông quá.

Bài 1.
Cho f là một đa thức với hệ số nguyên có bậc n và $\alpha_1,...,\alpha_n $ là các nghiệm của nó. Chứng minh rằng nếu $f(x_0) $ là số nguyên tố với một số nguyên $x_0 $ sao cho $|x_0|>M+1 $ thì f là bất khả quy trên Z, ở đây $M=\max\alpha_i $ .

Bài 2.
Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương không chia hết cho p. Chứng minh rằng đa thức $x^p-x-a $ là bất khả quy trên Z.

Bài 3.
f là một đa thức với hệ số nguyên . Nếu có số nguyên dương n sao cho
1)Tất cả các nghiệm của f nằm trong nửa mặt phẳng $Re(z)<n-\frac{1}{2} $
2)$f(n-1)\not = 0 $
3)f(n) là số nguyên tố.
Chứng minh rằng f là bất khả quy trên Z.

Bài 4.
a)$f(x)=f_nx^n+...+f_0 $ là đa thức với hệ số nguyên, ở đó $|f_0|>1 $. Gọi $\{c_1,...,c_r\} $ là tập các ước của $|f_0| $. Giả sử f nhận các giá trị nguyên tố $p_1,...,p_n $ tại n số nguyên phân biệt $a_i $ sao cho $|a_i|>2 $ và $a_i $ không chia hết $c_j\pm 1 $ , ở đây i=1,...,n và j=1,...,r. Chứng minh rằng f là bất khả quy.
b)Cho $a_1,...,a_n,r,s $ là các số nguyên sao cho $|a_k|>2 $. Cho các số $q=(-1)^na_1...a_n+s $ và $p_k=ra+k+s $ là các số nguyên tố với $q\pm 1 $ không chia hết cho $a_k $, ở đây k=1,...,n. Chứng minh rằng đa thức $(x-a_1)...(x-a_n)+rx+s $ bất khả quy trên Z.

Bài 5.
Cho $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+pa_n $ là một đa thức với hệ số nguyên và p là số nguyên tố ($a_n $ cũng là số nguyên). Chứng minh rằng nếu $p>\sum_{i=0}^{n-1}|a_n|^{n-1-i}|a_i| $ thì f là bất khả quy trên Z.

Bài 6.
Cho $a_i $ là n số nguyên phân biệt.
a)Chứng minh rằng $(x-a_1)...(x-a_n)-1 $ bất khả quy trên Z.
b)Chứng minh rằng $(x-a_1)...(x-a_n)+1 $ bất khả quy trên Z, trừ các trường hợp $(x-a)(x-a-2)+1=(x-a-1)^2 $ và $(x-a)(x-a-1)(x-a-2)(x-a-3)+1=((x-a-1)(x-a-2)-1)^2 $.
c)Chứng minh rằng $[(x-a_1)...(x-a_n)]^2+1 $ bất khả quy trên Z.

Bài 7.
Chứng minh rằng mỗi đa thức với hệ số nguyên có thể biểu diễn như là tổng của hai đa thức bất khả quy trên Z.

Bài 8.
a)f là một đa thức với hệ số nguyên nhận giá trị 1 tại nhiều hơn 3 điểm nguyên. Chứng minh rằng $f(n)\not = -1\forall n\in\mathbb{Z}. $
b)a,b là các số nguyên sao cho đa thức $ax^2+bx+1 $bất khả quy trên Z. Giả sử n>6 và $a_1,...,a_n $ là các số nguyên phân biệt , $\varphi (x)=(x-a_1)...(x-a_n) $. Chứng minh rằng $a\varphi^2(x)+b\varphi (x)+1 $ là bất khả quy trên Z.

Bài 9.
Cho$ F\in\mathbb{Z}[x_1,...,x_n] $ và f(x)=F(x,...,x). Chứng minh rằng nếu f bất khả quy trên Z thì F cũng thế.

Bài 10. ( Do Lam_sptn post)
Tìm tất cả các số nguyên k sao cho có vô số giá trị nguyên n>2 để đa thức $P_n(x)=x^{n+1}+kx^n-870x^2+1945x+1995 $ khả quy trên Z.

Bài 11. ( Do Lam_sptn post)
Cho các số nguyên tố khác nhau p,q và số nguyên dương n>2. Tìm tất cả các số nguyên a sao cho đa thức $f(x)=x^n+ax^{n-1}+pq $ là khả quy trên Z.

Bài 12. (Do caube_tinhnghich2007 post)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để đa thức $P_n(x)=x^n+4 $ là khả quy trên Z.

Bài 13. (Do Lam_sptn post)
Hãy viết đa thức sau thành tích các đa thức bất khả quy trên Z:
$x^{2005}-2005x+2004 $

Bài 14. $F_0=F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n $ , $a_n=F_{n+1}F_n $. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 $ là bất khả quy trên Z.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to n.t.tuan For This Useful Post:
falling down (30-01-2011), khoile101 (27-10-2011), nguyenhtctb (29-06-2011), Samurott (06-02-2013)
Old 03-01-2008, 04:20 PM   #2
conga1qt
Moderator
 
conga1qt's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Usa
Bài gởi: 268
Thanks: 9
Thanked 31 Times in 24 Posts
Gửi tin nhắn qua ICQ tới conga1qt Gửi tin nhắn qua AIM tới conga1qt Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới conga1qt Gửi tin nhắn qua Skype™ tới conga1qt
em giải bài 2 :
Giả ngược lại tức [tex]
$ x^p-x-a = P(x).Q(x) $ với $ P ,Q \in Z[x] $
và $ deg P = n < p $
Gọi $ \alpha_i (i=1->n ) $ là các nghiệm của $ P $
Khi đó $ \alpha_i^p-\alpha_i-a=0 $
$ <=> \sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_i^p-\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i -na=0 $
Mặt khác theo Fecma $ \sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_i^p-\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i \equiv 0 (mod p) => na \equiv 0 (mod p) $ (vô lí) => đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
[Only registered and activated users can see links. ]
conga1qt is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2008, 06:19 PM   #3
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Các nghiệm của P đã chắc nguyên hả chú?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2008, 09:58 PM   #4
Lam_sptn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Bài gởi: 3
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Tớ xin đóng góp hai bài.

Bài 10.
Tìm tất cả các số nguyên k sao cho có vô số giá trị nguyên n>2 để đa thức $P_n(x)=x^{n+1}+kx^n-870x^2+1945x+1995 $ khả quy trên Z.

Bài 11.
Cho các số nguyên tố khác nhau p,q và số nguyên dương n>2. Tìm tất cả các số nguyên a sao cho đa thức $f(x)=x^n+ax^{n-1}+pq $ là khả quy trên Z.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Lam_sptn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2008, 10:24 PM   #5
conga1qt
Moderator
 
conga1qt's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Usa
Bài gởi: 268
Thanks: 9
Thanked 31 Times in 24 Posts
Gửi tin nhắn qua ICQ tới conga1qt Gửi tin nhắn qua AIM tới conga1qt Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới conga1qt Gửi tin nhắn qua Skype™ tới conga1qt
Hì nhầm thưa thầy nó ko nguyên nhưng tổng của nó lại nguyên
$ S_i= \sum\limits_{i=1}^{n} a_i^i $
Theo Viét dễ thấy $ S_i $ nguyên nên $ (S_1)^p \equiv S_1 (mod p) $
Mặt khác lại có khai triển sau:
$ (S_1)^p =\sum \frac{p!}{m_1!m_2!.....m_n!} \alpha_1^{m_1}\alpha_2^{m_2}....\alpha_n^{m_n} $ với $ m_1+m_2+...+m_p=p (m_i \geq 0) $
Từ khai triển đó => $ (S_1)^p \equiv S_p (mod p) $
NÊn $ S_p - S_1 \equiv 0 (mod p) $ Hì

Đóng góp thêm 1 bài:
Tìm tính chất của n để $ P(x)=x^n+4 $ khả qui trên $ Z[x] $
:evil:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
[Only registered and activated users can see links. ]

thay đổi nội dung bởi: conga1qt, 03-01-2008 lúc 10:30 PM
conga1qt is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2008, 10:34 PM   #6
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Tại sao $S_1^p\equiv S_p \pmod{p} $ thế em? Chú ý là khi khai triển vế trái ta sẽ được $S_p $ cộng với các số hạng có hệ số chia hết cho p nhưng từng số hạng đó chưa chắc nguyên.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2008, 11:10 PM   #7
conga1qt
Moderator
 
conga1qt's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: Usa
Bài gởi: 268
Thanks: 9
Thanked 31 Times in 24 Posts
Gửi tin nhắn qua ICQ tới conga1qt Gửi tin nhắn qua AIM tới conga1qt Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới conga1qt Gửi tin nhắn qua Skype™ tới conga1qt
Dạ tại vì các số hạng đó biểu diễn được thành 1 đa thức với hệ số nguyên

$ T_i $ với $ T_1= \sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_i $

$ T_2= \alpha_1\alpha_2+....+\alpha_{n-1}\alpha_n $

$ T_n= \alpha_1....\alpha_n $

Ta có định lí sau:

Với đa thức $ \sum \alpha_1^{m_1}\alpha_2^{m_2}...\alpha_n^{m_n}

$ là 1 đa thức đối xứng thì biểu diễn được dưới dạng đa thức với các hệ

số nguyên $ T_1,T_2,...T_n $ Chính vì thế nên ta có thể kết luận rằng $ S_p \equiv S_1 (mod p ) $ Bài nì chắc chắn sẽ còn cách khác để con nghĩ thử xem
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
[Only registered and activated users can see links. ]

thay đổi nội dung bởi: conga1qt, 03-01-2008 lúc 11:13 PM
conga1qt is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 03-01-2008, 11:58 PM   #8
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Thầy hỏi cái này. Chứ không hỏi cái kia, em cứ nghĩ tiếp đi.
Trích:
Nguyên văn bởi n.t.tuan View Post
Tại sao $S_1^p\equiv S_p \pmod{p} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2008, 07:21 PM   #9
Lam_sptn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2008
Bài gởi: 3
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bài 13.
Hãy viết đa thức sau thành tích các đa thức bất khả quy trên Z:

$x^{2005}-2005x+2004 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Lam_sptn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 04-01-2008, 07:34 PM   #10
n.t.tuan
+Thành Viên+
 
n.t.tuan's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Bài gởi: 1,250
Thanks: 119
Thanked 616 Times in 249 Posts
Bài 14. $F_0=F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n $ , $a_n=F_{n+1}F_n $. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 $ là bất khả quy trên Z.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
T.
n.t.tuan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 31-03-2009, 01:02 AM   #11
dsonn
+Thành Viên+
 
dsonn's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2008
Bài gởi: 69
Thanks: 3
Thanked 51 Times in 21 Posts
Bài 15. f(x)=($x^2 $+$1^2 $)($x^2 $+$2^2 $)...($x^2 $+$n^2 $)+1 Bất khả quy trên Z (n thuộc N*)
==============
Bài 16: Cho f(x)=$a_n $$x^n $+$a_{n-1} $$x^{n-1} $+...+$a_1 $x+$a_0 $, trong đó các $a_i $ là các số nguyên tố thỏa mãn $a_0 $>$a_1 $+$a_2 $+...+$a_n $. Chứng minh rằng f(x) bất khả quy trên Z.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
ĐƯỜNG ĐI GIAN KHÓ MỚI DẪN TỚI ĐỈNH VINH QUANG

thay đổi nội dung bởi: dsonn, 31-03-2009 lúc 01:26 AM Lý do: Tự động gộp bài
dsonn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to dsonn For This Useful Post:
mathfriend (27-09-2009)
Old 30-12-2010, 12:00 PM   #12
n.v.thanh
Moderator
 
n.v.thanh's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Bài gởi: 2,849
Thanks: 2,980
Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts
Topic thú vị mà T giờ mới biết là có
Bài 14 là tiêu chuẩn Perron và quy nạp khi cm bất đẳng thức
Bài 15 Dùng số phức hoặc Bài romania 2003 chuyển về cm
$\prod (x+n^2)+1 $ bất khả quy
bài 15 b là tiêu chuẩn Perron Clone
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 31-12-2010 lúc 08:15 PM
n.v.thanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to n.v.thanh For This Useful Post:
franciscokison (14-07-2011)
Old 14-07-2011, 09:46 AM   #13
RAIZA
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2011
Đến từ: Storm monarch's
Bài gởi: 144
Thanks: 77
Thanked 65 Times in 50 Posts
Em giải câu a bài 6:
Giả sử [M]F(x)[/M] khả quy.
Suy ra [M]F(x)= f(x).g(x)[/M]
Với [M]\deg f(x) + \deg g(x) = n[/M] và [M]\deg f(x)>1, \deg g(x)>1(*)[/M].
Không mất tính tổng quát giả sử [M]\deg f(x)[/M] không vượt quá phần nguyên của [M]\frac{n}{2}[/M].
Dễ thấy phương trình [M]F(x) + 1 = 0[/M] có [M]n[/M] nghiệm phân biệt [M]a_i[/M].
nên [M]f(x).g(x) = -1[/M] có nghiệm phân biệt . (1)
Mà [M]a_i[/M] thuộc [M]\mathbb{Z}[/M].
nên [M]f(x)[/M] và [M]g(x)[/M] thuộc [M]\mathbb{Z}[/M]. (2)
Do đó từ (1) và (2) ta suy ra: [M]f(x)+g(x) =0[/M] có [M]n[/M] nghiệm phân biệt (3) và [M]f(x)= \pm 1[/M] có [M]n[/M] nghiệm phân biệt .
Vì \deg f(x) không vượt quá phần nguyên của [M]\frac{n}{2}[/M] nên [M]f(x)= \pm 1[/M] có không quá [M]n[/M] nghiệm phân biệt. Kết hợp (4) suy ra [M]n[/M] chẵn và [M]f(x)[/M] bậc [M]k[/M] với [M]n = 2k[/M] vì [M]\deg f(x)>1[/M].
Từ (*) có [M]\deg {f(x)+g(x)}< n[/M], kết hợp (3) có [M]f(x)+g(x) = 0[/M] đúng với mọi [M]x[/M].
[M]\Rightarrow g(x) = - f(x), \forall x[/M].
[M]\Rightarrow F(x) = - f(x)^2 \forall x[/M].
[M]\Rightarrow F(x)[/M] không dương với mọi [M]x[/M].
Điều này không đúng khi [M]x = \max\{a_i\}+2[/M] vì khi đó [M]F(x)> 1.1…1 – 1 = 0[/M].
[M]\Rightarrow [/M] Vô lý.
[M]\Rightarrow [/M] Giả sử sai.
[M]\Rightarrow [/M] Đpcm.
Còn câu b nếu làm tương tự sẽ suy ra [M]F(x) =f(x)^2[/M].
Nếu [M]\deg F(x) = 2[/M], việc đồng nhất hệ số tương đối đơn giản dễ dẫn tới kết quả [M]F(x) = x(x - 2) + 1[/M].
Nếu [M]\deg F(x) = 4[/M], việc đồng nhất hệ số là rất khó khăn.
Nếu [M]\deg F(x)[/M] lớn hơn hoặc bằng 6 có thể chứng minh được [M]a_{2i-1}+1=a_{2i} [/M]. Đến đây mời các bác hỗ trợ tiếp.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: novae, 14-07-2011 lúc 09:52 AM
RAIZA is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:23 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 92.60 k/106.70 k (13.21%)]