Một bổ đề có nhiều ứng dụng

[quocbaoct10]

Bài 21 (chọn đội tuyển PTNK 2013)
Cho dãy $\{u_n \}$ thoả mãn $u_1=2013, u_{n+1}=u_n^3-4u_n^2+5u_n \; \forall n \in \mathbb{N}^*$. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ là ước của $(u_{2014}+2009)$ và $p \equiv 3 \pmod{4}$.

ta có $u_{n+1}-2=u_{n}^{3}-4u_{n}^{2}+5u_{n}-2\\
=(u_{n-1}-1)^2(u_{n-1}-2)\\
=(u_{n-1}-1)^2.(u_{n-2}-1)^2.(u_{n-2}-1)=...=(u_{n-1}-1)^2.(u_{n-2}-1)^2....(u_2-1)^2.(u_1-2)\\
=(u_{n-1}-1)^2.(u_{n-2}-1)^2....(u_2-1)^2.2011$.
Từ đây, ta có: $u_{2014}-2=(u_{2013}-1)^2.(u_{2012}-1)^2....(u_2-1)^2.2011\\
\Leftrightarrow u_{2014}+2009=(u_{2013}-1)^2.(u_{2012}-1)^2....(u_2-1)^2.2011+2011\\
=2011((u_{2013}-1)^2.(u_{2012}-1)^2....(u_2-1)^2+1)$.
Vì $((u_{2013}-1)^2.(u_{2012}-1)^2....(u_2-1)^2+1)$ có dạng $a^2+b^2$ với $(a,b)=1$ nên nó không có ước nguyên tố dạng $4k+3$. Vậy từ đó $p=2011$

ông madthandyou rảnh thì gõ Latex làm chuyên đề luôn đi

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Vâng,tớ đang gõ đây,phần sau tớ còn định bổ sung thêm vài bài tổng 3 và 4 bình phương nữa.Có gì mong mọi người giúp đỡ và đóng góp nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Juliel]

Rất tốt chú Huy à...

Đã bảo a post bài rồi thì đừng hỏi đâu ra.Thôi post tiếp cho tròn chục vậy nhé.Mai mốt tiếp tục phần khác...Đây là mấy bài thi,cũng khá hay.Nhất là 16 và 17 và bài cuối là một dạng bài mang hơi hướng liên quan thôi chứ không phải ứng dụng lắm..

Bài 16:Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$.Cho $x,y,z,t$ là các số nguyên dương thỏa:$x^{2p}+y^{2p}+z^{2p}=t^{2p}$.Chứng minh rằng ít nhất trong các số $x,y,z,t$ chia hết cho $p.$
Bài 17:Cho dãy số xác định như sau:$a_1=5,a_{n+1}=a_n^3-2a_n^2+2$,với mọi $n$ lớn hơn hoặc bằng $2$.Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ và $a_{2011}+1 \vdots p$.Chứng minh rằng $p=3$
Bài 18:Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$ thì $7p+3^p-4$ không là số chính phương.
Bài 19:Tìm số nguyên tố $p$ đề $p^2-p+1$ là một lập phương của số tự nhiên.$
Bài 20:Tìm các bộ số $(x,y)$ nguyên thỏa:$y^2=x^3-p^2x$ với $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$.
Mong nhận được sự đóng góp của tất cả mọi người.

Giải bài số 16 đi anh, bài này nhìn đẹp quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]