Mathscope marathon Số Học 2

[taikhoan2002]

Để mang lại một không khí sôi nổi trên diễn đàn mathscope về phần số học cũng như tạo một topic ôn thi dành cho các bạn thi chuyên toán , mình xin được lập một marathon số học ( k biết trc đây đã có trên diễn đàn chưa) . Luật lệ như sau;

Một số chủ đề có thể thảo luận trong topic này:

Các bài toán về chia hết
Phương trình nghiệm nguyên
Các bài toán liên quan đến hàm số học
Thặng dư chính phương - Ký hiệu Legendre, ký hiệu Jakobi
Cấp số nguyên - Căn nguyên thủy
Bất đẳng thức số học
Các bài toán số học liên quan đến tổ hợp
Bổ đề LTE
Các định lý số học như định lý Fermat, định lý Wilson, ...
Phần nguyên
Các bài toán liên quan đến định lý thặng dư Trung Hoa
...
Nội dung của cuộc thi này khá đơn giản, khi bạn giải đúng được bài toán hiện có thì bạn có thể đăng lên tại đây và mình sẽ cộng thêm cho các bạn một điểm, và các bạn có quyền được đề xuất bài toán mới. Như vậy ai giải thì người đó sẽ có quyền đề xuất, trừ khi bạn không biết đề xuất bài nào thì bạn có thể nhờ hỗ trợ.



Và một số quy định yêu cầu các bạn tuân thủ:

Chỉ cho phép các bài toán trong phạm vi số học ( Có thể ở phạm vi cao cấp )
Ghi nguồn bài toán rõ ràng.
Không được phép giải bài toán của chính mình đề xuất, không được phép đề xuất các bài toán trong các cuộc thi chưa kết thúc (ví dụ như tạp chí toán học & tuổi trẻ,...)
Không được spam, lời giải rõ ràng, cụ thể.
Khi bạn giải bài toán thứ nthì bạn đề xuất luôn bài toán thứ n+1 (đánh đúng số thứ tự). Sau đây là mẫu:
Lời giải bài n. ABCXYZ
Bài toán n+1. (Nguồn)
Không đăng các bài toán mở, các giả thuyết, ..
Nếu một bài toán trong vòng 1 ngày chưa ai giải được thì sẽ được đánh dấu lại và thành viên sẽ đăng bài toán tiếp theo. Bất cứ lúc nào bạn muốn đề xuất lời giải cho bài chưa được giải cũng được và sẽ được cộng hai điểm nếu như lời giải đúng. Ngoài ra nếu các bạn nghĩ mình có lời giải hay hơn của bạn trước tiên giải bài nào đó thì xin cứ đăng (sẽ chỉ cộng điểm cho bạn làm đúng và nhanh nhất), như vậy sẽ học hỏi lẫn nhau được nhiều hơn.
Yêu cầu các bài toán có độ khó nhất định, phải suy nghĩ mới làm được.
Yêu cầu tuân thủ các quy định. Bài viết nào có tính chất spam sẽ bị xóa đi hoặc lời giải đúng nhưng không rõ ràng, lan man sẽ chỉ nhận được 0,5điểm.
Mong các bạn ủng hộ và giúp đỡ, nếu có thể mình sẽ tổng hợp lại các bài toán hay trong forum thành một tài liệu dành cho tất cả mọi người
Xin mở màn bài toán khởi động sau:
Bài 1: Cho 2004 số nguyên không âm $a_{1},a_{2},...,a_{2004}$ thỏa mãn: $a_{1}^n+a_{2}^n+...+a_{2004}^n$ là số chính phương với mọi $n\in{N}$. Tìm số số hạng nhỏ nhất bằng 0
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[taikhoan2002]

Sao không thấy ai lên giải thế nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vankhuekt]

Bài 1: Cho 2004 số nguyên không âm $a_{1},a_{2},...,a_{2004}$ thỏa mãn: $a_{1}^n+a_{2}^n+...+a_{2004}^n$ là số chính phương với mọi $n\in{N}$. Tìm số số hạng nhỏ nhất bằng 0

Giả sử $k$ là số các số khác $0$, trước tiên ta có bổ đề là: "Với $a$ là một số nguyên không là số chính phương, khi đó tồn tại vô số số nguyên tố $p$ sao cho $a$ là một bất thặng dư bậc hai theo mod $p$.".

Chọn $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $\mathop {\max }\limits_{1 \le i \le 2004} \left\{ {\left| {{a_i}} \right|} \right\}$, theo định lý Fermat nhỏ ta có\[a_1^{p - 1} + a_2^{p - 1} + \ldots + a_{2004}^{p - 1} \equiv k\pmod p.\]Từ bổ đề và giả thiết, ta có ngay $k$ là số chính phương. Từ đấy có $k\le 44$, và do đó kết quả cần tìm là 68.

PS. Bổ đề kia xem chứng minh ở [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[taikhoan2002]

Sau mỗi bài bạn toán được giải bạn nên đề nghị thêm một bài toán mới, như thế topic mới là '' marathon ''
P/s : Mong bạn ủng hộ topic mik hơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vankhuekt]

Sau mỗi bài bạn toán được giải bạn nên đề nghị thêm một bài toán mới, như thế topic mới là '' marathon ''
P/s : Mong bạn ủng hộ topic mik hơn

OK bạn
Bài 2. Cho các số nguyên dương $a,\,b$, chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho không tồn tại số nguyên dương $x$ thỏa mãn\[\varphi(x)=an+b.\]
Ghi chú. Ở đây $\varphi (x)$ là phi hàm Euler.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

OK bạn
Bài 2. Cho các số nguyên dương $a,\,b$, chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho không tồn tại số nguyên dương $x$ thỏa mãn\[\varphi(x)=an+b.\]
Ghi chú. Ở đây $\varphi (x)$ là phi hàm Euler.

Định lý Dirichlet: với $x,y$ nguyên tố cùng nhau thì tồn tại vô hạn $n$ nguyên dương để $nx+y$ là số nguyên tố.

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $a,b$.

Nếu $d=1$ thì có thể chọn $n$ để $an+b$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Dễ thấy rằng $\phi(x)$ luôn là hợp số với mọi $x \ge 5$ nên bài toán đúng.

Xét $d > 1$, đặt $a=dx, b=dy$ với $(x,y)=1$ thì chọn $n$ để $nx+y$ là số nguyên tố lớn hơn $d+1$. Khi đó ta có $an+b = d(nx+y) = dp$ với $d < p-1$.

Nếu $x$ có ước nguyên tố là $p$ thì rõ ràng $\phi(x)$ chia hết cho $p-1$, không thỏa.
Nếu $x$ không có ước nguyên tố là $p$ thì ta phải có $dp+1$ là số nguyên tố. Đến đây nếu $d$ lẻ thì bài toán kết thúc, $d$ chẵn thì mình sẽ nghĩ tiếp.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[taikhoan2002]

Định lý Dirichlet: với $x,y$ nguyên tố cùng nhau thì tồn tại vô hạn $n$ nguyên dương để $nx+y$ là số nguyên tố.

Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $a,b$.

Nếu $d=1$ thì có thể chọn $n$ để $an+b$ là số nguyên tố lớn hơn 3. Dễ thấy rằng $\phi(x)$ luôn là hợp số với mọi $x \ge 5$ nên bài toán đúng.

Xét $d > 1$, đặt $a=dx, b=dy$ với $(x,y)=1$ thì chọn $n$ để $nx+y$ là số nguyên tố lớn hơn $d+1$. Khi đó ta có $an+b = d(nx+y) = dp$ với $d < p-1$.

Nếu $x$ có ước nguyên tố là $p$ thì rõ ràng $\phi(x)$ chia hết cho $p-1$, không thỏa.
Nếu $x$ không có ước nguyên tố là $p$ thì ta phải có $dp+1$ là số nguyên tố. Đến đây nếu $d$ lẻ thì bài toán kết thúc, $d$ chẵn thì mình sẽ nghĩ tiếp.

Anh Lữ đề xuất tiếp một bài cho bọn em đi ạ, cám ơn anh nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ngocanh9x]

Bài 2 chưa có lời giải thì tiếp tục bài 3

Bài 3. Một số nguyên dương gọi là số hoàn hảo, nếu nó là tổng của các ước dương thực sự của chính nó. Chứng minh rằng, không tồn tại hai số nguyên dương liên tiếp đều đồng thời là số hoàn hảo.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ngocanh9x]

Bài 4. Cho trước một số nguyên dương $a$. Tìm tất cả các số nguyên dương $b$, sao cho với mọi số nguyên dương $n$ ta luôn có $an+1$ và $bn+1$ là các số nguyên tố cùng nhau.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]