Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số > Chuyên Đề

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 05-05-2011, 11:17 AM   #1
xuanhai_10t2
+Thành Viên+
 
xuanhai_10t2's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 27
Thanks: 2
Thanked 22 Times in 11 Posts
Icon4 Một bổ đề có khá nhiều ứng dụng

Cái bổ đề này chắc 1 số anh cũng đã biết rồi,nhưng mà ứng dụng thì em cũng chưa biết hiết:
Cho $a,b $ là 2 số nguyên,$(a,b)=1 $ và $n $ nguyên dương,khi đó:
a)nếu $(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b) = (n,a-b) $

b)nếu $(\frac{a^n+b^n}{a+b},a+b) = (n,a+b) $

VÀ SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NÓ:

1.$v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(n) $
Chứng minh:$a^n-b^n = (a-b).(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $

$\Rightarrow v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $

Ta chứng minh: $v_p(n)=v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $.
Ta có:$(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b) = (n,a-b) $
*TH1:$v_p(n)<v_p(a-b) \Rightarrow v_p(n,a-b)=v_p(n) $
$\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})=v_p(n) $ suy ra dpcm
*TH2:$v_p(n)>v_p(a-b) \Rightarrow v_p(n,a-b)=v_p(a-b) $
$\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})>v_p(a-b) $.Mặt khác:
$\frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-2}+a^{n-3}b^2+...+b^{n-1} $$=k(a-b)+nb^{n-1} $
$\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})<v_p(a-b) $(vô lí) suy ra dpcm

2.Chứng minh 2 điều kiện sau là tương đương:
$(2^m-1)^2 \mid 2^n-1 $ và $m(2^m-1) \mid n $
Chứng minh:ta có $2^{kn}-1=(2^n-1)(2^{n(k-1}+...+1) $
$\Rightarrow 2^n -1 \mid 2^{kn-1} $.Vì vậy:
$2^{kn+d}-1\equiv2^d-1(mod 2^n-1) $
$\Rightarrow 2^m-1 \mid 2^n-1 \Leftrightarrow m \mid n $.Với $n=km $,ta có:
$\frac{2^{km}-1}{2^m-1} \equiv k(mod 2^n-1) $
$\Rightarrow k=\frac{n}{m} $ chia hết cho $2^m-1 \Leftrightarrow m(2^m-1) \mid n $

3.Chứng minh nếu $n $ là số nguyên dương thỏa mãn $3^n-2^n = p^k $ với $p $ nguyên tố
thì $n $ là số nguyên tố.
Chứng minh:ta cm bằng quy nạp theo $k $:
+với $k=1 $,ta có $3^n-2^n=p $.Giả sử n là hợp số $\Rightarrow n= ab $,do đó $1<3^a-2^a<p $ và$(3^a-2^a) \mid p $,vô lí vì $p $ nguyên tố,vậy n là số nguyên tố
+giả sử bài toán đúng cho mọi số nguyên $k\leh $.Ta chứng minh bài toán đúng với $k=h+1 $.Thật vậy,ta có $3^n-2^n=p^{h+1} $,giả sử $n $ là hợp số thì có 2 TH:
_TH1:$n=cd $ với $c $ là hợp số nhỏ hơn$n $,khi đó ta có $3^c-2^c=p^i $ với $i\leh $ nhưng điều nay trái với giả thiết quy nạp.Vậy TH này không xảy ra
_TH2:$n=st $ với $s,t $ là các số nguyên tố,khi đó ta có:
$e=(\frac{3^n-2^n}{3^s-2^s},3^s-2^s})=(\frac{(3^s)^t-(2^s)^t}{3^s-2^s}=(t,3^s-2^s) $ (4).

Do $n>s $ và $3^n-2^n,3^s-2^s $ đều là các lũy thừa với số mũ dương của $p $ nên $e $ cũng là lũy thừa với số mũ dương của $p $.Kết hợp với (4) ta có $p=t $,tương tự $s=p $.Như vậy $3^{p^2}-2^{p^2}=p^{h+1} \Rightarrow 3^{p^2} \equiv 2^{p^2}(mod p) $ mặt khác từ định lý Fermat thì $3^{p^2} \equiv 3^p(mod p) $ và tương tự cho $2^{p^2} $ nên ta có $3\equiv2(mod p) $,vô lí.Vậy TH này cũng không xảy ra $\Rightarrow $ dpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: xuanhai_10t2, 06-05-2011 lúc 10:50 AM Lý do: latex
xuanhai_10t2 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 9 Users Say Thank You to xuanhai_10t2 For This Useful Post:
Anh Khoa (06-05-2011), Combinatorial@ (10-11-2011), hanamichi1302 (05-08-2011), huynhcongbang (05-05-2011), leviethai (06-05-2011), long_chau2010 (13-05-2011), magic. (20-05-2011), phamtoan (05-05-2011), trungno (24-11-2013)
Old 06-05-2011, 10:36 AM   #2
xuanhai_10t2
+Thành Viên+
 
xuanhai_10t2's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 27
Thanks: 2
Thanked 22 Times in 11 Posts
Bài toán sau dù không cần phải sử dụng bổ dề trên nhưng nó cũng cho ta ý tưởng để đưa về dạng $\frac{a^n-b^n}{a-b} $


4.Cho $x,y,p,n,k $ là các số nguyên dương thỏa mãn:
$x^n+y^n=p^k $.Chứng minh nếu $n $ lẻ và p là số nguyên tố thì $n $ là lũy thừa của $p $.
Chứng minh:Đặt $m=gcd(x,y) $.Từ đó ta có $x=mx_1,y=my_1 $.Từ cách đặt ta có $m^n(x^n_1+y^n_1)=p^k $,từ đó có $m=p^a $ với $a $ nguyên dương.Từ đó:
$x^n_1+y^n_1=p^{k-na} $ (1).vÌ $n $ lẻ nên

$\frac{x^n_1+y^n_1}{x_1+y_1}=x^{n-1}_1-x^{n-2}_1y_1+...+y^{n-1}_1=A $ (2)
Từ đó ta có:$A(x_1+y_1)=p^{k-na} $ suy ra $x_1+y_1=p^b $ với $b $ nguyên dương nào đó.Tư đó:
$A=x^{n-1}_1-x^{n-2}_1(p^b-x_1)+...+(p^b-x_1)^{n-1} $
$=nx^{n-1}_1+Bp $.Có $A $ chia hết cho $p $ mà
$(x_1,p)=1 $ nên ta có $n $ chia hết cho $p $ suy ra
$n=pq $.Từ đó ta có:$x^{pq}+y^{pq}=p^k $ hay

$(x^p)^q+(y^p)^q=p^k $.Bằng lí luận tương tự thì $p $ cũng chia hết cho $q $ ,nếu $q=1 $ thì $n=p $.Nếu
$p=q $ thì $n=p^2 $ suy ra dpcm
------------------------------
Ngoài ra ,hệ quả của bổ đề-bài toán 1 cũng có khá nhiều ứng dụng,cụ thể như sau:
Trước hết ,đây là 2 hệ quả rất hay dùng:
1.$v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(n) $ với $p>2 $

2.$v_2(a^n-b^n)=v_2(\frac{a^2-b^2}{2})+v_2(n) $ (p=2)


ỨNG DỤNG:
1.Có tồn tại hay không số nguyên $n $ thỏa mãn $n $ có đúng 2000 ước nguyên tố và $2^n+1 $ chia hết cho $n $

2.$(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}} $ chia hết cho

$p^n $ với $n $ chia hết cho $p $ với $p $ nguyên tố

Chứng minh:Từ hệ quả 1,ta có nếu $p^k \mid a-b $ thì $p^{k+m} \mid a^{sp^m}-b^{sp^m} $.

Đặt $a=(n-1)^{n^2},b=-(n+1)^{n^2} $

suy ra $a^{n^{n-1}}-b^{n^{n-1}}=(n-1)^{n^{n-1}}+(n+1)^{n^{n+1}} $ mà

$a-b $ chia hết cho $n $ suy ra $p \mid a-b $

nên $p^n \mid a^{sp^{n-1}}-b^{sp^{n-1}}=(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}} $ với

$s=(\frac{n}{p})^{n-1} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: xuanhai_10t2, 06-05-2011 lúc 11:16 AM Lý do: Tự động gộp bài
xuanhai_10t2 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to xuanhai_10t2 For This Useful Post:
hanamichi1302 (05-08-2011), magic. (20-05-2011)
Old 08-05-2011, 04:10 PM   #3
xuanhai_10t2
+Thành Viên+
 
xuanhai_10t2's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 27
Thanks: 2
Thanked 22 Times in 11 Posts
Lại thêm một ứng dụng nữa của bổ đề trên:

Bài 6:tìm tất cả các bộ $(x,y,n) $ thỏa mãn
$(x,n+1)=1 $ và $x^n+1=y^{n+1} $

Giải:có $x^n=y^{n+1}-1=(y-1)m $ với $m=y^n+y^{n-1}+..+1 $.Do đó $x^n $ chia hết cho$m $,ta có:
$m=(y-1)(y^{n-1}+2y^{n-2}+3y^{n-3}+...+(n-1)y+n)+(n+1) $
nên $n+1 $ chia hết cho $(m,y-1) $,mặt khác từ bổ đề suy ra $(m,y-1)=(n+1,y-1) $,từ đó ta có $n+1 $ chia hết cho$(y-1,n+1) $ nên $(m,y-1)=1 $.Vì $x^n=(y-1)m $ nên $m $ là lũy thừa của mốt số nguyên,nhưng:
$y^n<m<(y+1)^n=y^n+C^1_ny^{n-1}+..+C^{n-1}_ny+1 $ với mọi $n>1 $ suy ra $n=1 $ và $x=y^2-1 $.Do $(x,n+1)=(x,2)=1 $ nên $x $ lẻ và $y $ chẵn.Có nghĩa là tất cả các cặp số cần tìm có dạng $(a^2-1,a,1) $,trong đó $a $ là một số chẵn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: xuanhai_10t2, 08-05-2011 lúc 04:11 PM Lý do: sửa đề
xuanhai_10t2 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to xuanhai_10t2 For This Useful Post:
hanamichi1302 (05-08-2011), magic. (20-05-2011), sang_zz (22-05-2011)
Old 04-10-2011, 05:10 PM   #4
thuyanh123
+Thành Viên+
 
thuyanh123's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Bài gởi: 14
Thanks: 1
Thanked 5 Times in 4 Posts
Bạn sao không tạo thành 1 file luôn cho mọi người tiện theo dõi tớ thấy vấn đề này rất hay
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
thuyanh123 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-11-2011, 01:45 PM   #5
Htht_love_ntl
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2011
Bài gởi: 7
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi xuanhai_10t2 View Post
Cho $a,b $ là 2 số nguyên,$(a,b)=1 $ và $n $ nguyên dương,khi đó:
a)nếu $(\frac{a^n-b^n}{a-b},a-b) = (n,a-b) $

b)nếu $(\frac{a^n+b^n}{a+b},a+b) = (n,a+b) $
Bạn có thể giải thích rõ đoạn này không?
Trích:
Nguyên văn bởi xuanhai_10t2 View Post
1.$v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(n) $
Chứng minh:$a^n-b^n = (a-b).(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $

$\Rightarrow v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $
$v_p(n) $ nghĩa là gì hả bạn??
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Htht_love_ntl is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-11-2011, 02:35 PM   #6
novae
+Thành Viên Danh Dự+
 
novae's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Event horizon
Bài gởi: 2,453
Thanks: 53
Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Htht_love_ntl View Post
Bạn có thể giải thích rõ đoạn này không?

$v_p(n) $ nghĩa là gì hả bạn??
Là số mũ của $p $ trong phân tích tiêu chuẩn của $n $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
M.
novae is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to novae For This Useful Post:
Htht_love_ntl (11-11-2011)
Old 18-12-2011, 10:36 PM   #7
The_top
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Bài gởi: 12
Thanks: 5
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi xuanhai_10t2 View Post

1.$v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(n) $
Chứng minh:$a^n-b^n = (a-b).(\frac{a^n-b^n}{a-b}) $
-----------
*TH2:$v_p(n)>v_p(a-b) \Rightarrow v_p(n,a-b)=v_p(a-b) $
$\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})>v_p(a-b) $.Mặt khác:
$\frac{a^n-b^n}{a-b}=a^{n-2}+a^{n-3}b^2+...+b^{n-1} $$=k(a-b)+nb^{n-1} $
$\Rightarrow v_p(\frac{a^n-b^n}{a-b})<v_p(a-b) $(vô lí) suy ra dpcm
Làm phiền tác giả hoặc các mod xem hộ lại đoạn này. Nếu Có thể làm sáng tỏ chỗ này thì đây quả là 1 cách cm tuyệt vời!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
The_top is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:39 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 69.44 k/78.05 k (11.03%)]