Dãy x_{n+1}=f(x_n,x_{n+1})-VietnamTST 1990, bài 2

[VietnamTST]

Cho bốn số thực dương a,b,A,B và dãy $(x_n) $ xác định như sau $x_1=a,x_2=b,x_{n+1}=A\sqrt[3]{x_n^2}+B\sqrt[3]{x_{n-1}^2}(n=2,3,...) $. Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn và tìm giới hạn đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Đặt $\mu = max (a,b,1,(A+B)^3) $

Khi đó dễ thấy $0<x_n\leq\mu $ với mọi n . Vậy dãy bị chặn nên tồn tại giới hạn trên dưới .

Đặt $M = limsup x_n $ và $m =liminf x_n $

Với \epsilon > 0 cố định .

$0< x_n< M+\epsilon $ với mọi $n>N $ nào đó
$x_n > m-\epsilon $ với mọi $n>N $ nào đó

Chọn $n $ thỏa mãn $x_{n+1}>M-\epsilon $ ta có
$M-\epsilon < x_{n+1}=A\sqrt[3]{x_n^2}+B\sqrt[3]{x_{n-1}^2} < (A+B)\sqrt[3]{(M+\epsilon)^2} $

Từ đây suy ra $M\leq (A+B)^3 $


Tương tự ta chọn $n $ sao cho $x_{n+1}<m+\epsilo $n

Ta có

$m+\epsilon> x_{n+1}=A\sqrt[3]{x_n^2}+B\sqrt[3]{x_{n-1}^2} > (A+B)\sqrt[3]{(m-\epsilon)^2} $

Từ đây suy ra $m\geq (A+B)^3 $

Từ đó ta có $m=M=(A+B)^3 $ và suy ra dãy có giới hạn là $(A+B)^3 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]