VMO 2011 Preparation: Đề luyện số 7

**namdung** · 13-12-2010, 12:06 AM

Đây là đề luyện số 7.

Lời giải gửi về địa chỉ trannamdung@ovi.com trước 23h59 phút ngày 20/12/2010.

manhnguyen94 · 13-12-2010, 12:07 AM

Có lời giải đề số 6 chưa thầy ???

can_hang2008 · 13-12-2010, 01:20 PM

VMO Preparation 7 - LaTeXed:

**Lan Phuog** · 15-12-2010, 02:55 PM

Em chào thầy!
Em nghĩ từ đề luyện số 7 này trở đi các thành viên trên diễn đàn có thể thảo luận trực tiếp lời giải thay vì việc gửi Email cho thầy. Như vậy sẽ tạo ra sự sôi nổi cho diễn đàn mình và có thể trình bày nhiều cách khác nhau cho 1 bài toán,sau đó thầy sẽ tổng hợp lại thành 1 file hoàn chỉnh.
Thầy thấy thế nào ạ?

**namdung** · 15-12-2010, 05:39 PM

Tôi đồng ý.

Mọi người có thể thảo luận thẳng trên diễn đàn.

Đây cũng là đề luyện VMO 2011 cuối cùng rồi.

**Lan Phuog** · 15-12-2010, 07:09 PM

Em xin đóng góp lời giải một số bài:
Bài 1: Cho các số thực $ a,b,c $ thỏa mãn đồng thời các điều kiện
$ a+b+c=6 $
$ a^2+b^2+c^2=14 $
Chứng minh: $ (a-b)(b-c)(c-a) \le 2 $

Lời giải: Ta xét các TH sau
i, $(a-b)(b-c)(c-a) \le 0 $ khi đó bđt hiển nhiên đúng
ii, $(a-b)(b-c)(c-a) \ge 0 $ hay chỉ cần xét $c \ge b\ge a $
từ gt ta có $a+b=6-c, ab=c^2-6c+11 $,
suy ra $(a-b)^2=12c-3c^2-8 $
Lúc đó
$[(a-b)(b-c)(c-a)]^2=(12c-3c^2-8)[c^2-(a+b)c+ab]^2=(12c-3c^2-8)(3c^2-12c+11)^2=A $
Áp dụng bdt Cauchy ta có
$ A \le \frac{4}{27}(12-3c^2-8+3c^2-12c+11)^3=4 $
Kết hợp với điều kiện đang xét ta có đpcm!

Bài 2: Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B phân biệt thuộc (O). Lấy M là trung điểm AB. Một dây cung CD bất kỳ (khác AB) đi qua M. gọi K là giao điểm của AC và BD. KM cắt (O) tại 2 điểm I và H (I gần K hơn). AI cắt BH tại L. Chứng minh K, I, D, L thuộc cùng 1 đường tròn.

Bài 3:Ta tô màu các ô của hình chữ nhật 9 x 11 bằng hai màu đen và trắng sao cho trong một hình chữ nhật 2 x 3 (hoặc 3 x 2) bất kỳ đều chứa đúng hai ô được tô màu đen. Chứng minh rằng đó đúng 33 ô được tô đen.

Lời giải: Ta có các khẳng định sau
1, Trong 1 hình chữ nhật 2x9 có đúng 6 ô được tô đen
2, Trong 1 hình vuông 3x3 có đúng 3 ô được tô đen
(2 điều trên cm dễ dàng bằng nguyên lí Đi-rich-le)
Như vậy,bằng cách phân hoạch hình vuông 9x11 thành 1 hcn 2x9 và 9 hv 3x3 cho ta số ô tô đen là 9x3+6=33

Cách tô như sau:
Đánh số dòng và cột tương ứng là
(1,2,3,4,5,6,7,8,9); (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)
1 ô (m,n) sẽ có vị trí ở dòng m,cột n
Tô theo đường chéo từ trái sang phải và bắt đầu từ các ô (1,1);(1,4);(1,7);(1,10);(4,1);(7,1)

Bài 5: Cho ABC là một tam giác không đều có góc BAC = 60. BD và CE là các đường phân giác trong của các góc B, C. Đường tròn tâm B bán kính BD cắt AB tại F và đường tròn tâm C bán kính CE cắt AC tại N. Chứng minh rằng FG song song với BC.

Lời giải: đặt $ BC=a,CA=b,AB=c $
Áp dụng công thức đường phân giác ta có: $ BD=\frac{2ac.cos(\frac{A}{2})}{a+c} $, $ CE=\frac{2ab.cos(\frac{B}{2})}{a+b} $
Để chứng minh FG song song với BC ta chỉ cần cm $ \frac{BD}{c}=\frac{CE}{b} $
Đẳng thức trên đúng vì $ cos(\frac{A-B}{2})=cos(\frac{C-A}{2}) $
(do $B+C=2A $)
ta có đpcm!

Bài 6: Chứng rằng tồn tại các số nguyên dương a > 1, b > 1, c > 1 sao cho $ a^2 – 1 $ chia hết cho b, $ b^2 – 1 $ chia hết cho c và $ c^2 – 1 $ chia hết cho a và a + b + c > 2010.

Lời giải:
Ta chọn $a=2^{2^n}+1 $, $b=2^{2^n-1}+1 $, $c=2^{2^n} $
với n là số nguyên dương
Rõ ràng các số trên thỏa mãn b chia hết $ a^2-1 $, c chia hết $ b^2-1 $ và a chia hết $ c^2-1 $
Khi đó ta chỉ cần chọn n đủ lớn thì $ a+b+c>2010 $

nbkschool · 15-12-2010, 07:26 PM

Bài 6 chỉ cần chọn $a=n,b=2(n-1),c=2n-1 $ với n lẻ.(do $2(n-1) | (n-1)(n+1) ; 2n-1 | (2n-1)(2n-3)=4(n-1)^2-1 ; n | 2n(2n-2)= (2n-1)^2-1 ) $
Bài số 3 mình có một cách hơi "trâu bò" là chứng minh với mỗi cột (hàng) thì 2 ô được tô đen liền nhau phải cách nhau đúng 3 ô.

hophinhan_LHP · 15-12-2010, 09:30 PM

Bài 1: $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2=4-27(abc-6)^2 $

**Lan Phuog** · 16-12-2010, 07:43 AM

Trích:

Nguyên văn bởi nbkschool

Bài 6 chỉ cần chọn $a=n,b=2(n-1),c=2n-1 $ với n lẻ.(do $2(n-1) | (n-1)(n+1) ; 2n-1 | (2n-1)(2n-3)=4(n-1)^2-1 ; n | 2n(2n-2)= (2n-1)^2-1 ) $
Bài số 3 mình có một cách hơi "trâu bò" là chứng minh với mỗi cột (hàng) thì 2 ô được tô đen liền nhau phải cách nhau đúng 3 ô.

Bài 3 hôm qua gõ nhầm
Phải là trong 1 hcn 2x9 có đúng 6 ô tô đen.
Ai có lời giải bài 4 k?

Kratos · 16-12-2010, 08:37 AM

Bài 1 còn 1 cách giải khác như sau:

Đặt $A=a^2b+b^2c+c^2a, B=ab^2+bc^2+ca^2 $ và $r=abc $. Dựa vào giả thiết ta tính được $A+B=66-3r $ và $AB=9r^2-180r+1331 (1). $

Rõ ràng ta chỉ cần xét $a \le b \le c $. Khi đó BDT cần chứng minh tương đương với $B-A \le 2 $ hay $(B-A)^2 \le 4 $ hay $(A+B)^2 - 4AB \le 4 $. Sử dụng $(1) $ và biến đổi tương đương ta được $(r-6)^2 \ge 0 $, đây là BDT đúng. Do đó ta có đpcm.

hophinhan_LHP · 16-12-2010, 05:13 PM

Với bài 4 có những ý là chứng mình P(x) là hàm số chẵn (chú ý tới bậc 2010)
sau đó đặt P(x)=Q(x^2) ; đặt tiếp Q(x)=S(x)+a trnog đó a là số thực thỏa a^2-1=a. Suy ra S(x) có vô số nghiệm thực_mâu thuẫn

leonaole94 · 17-12-2010, 12:00 PM

Bài 4:tồn tại q(x) bậc lẻ mà q(x^2)=p(x).suy ra (q(y))^2-1=q(t^2+2t+2).q(x) có nghiệm nên từ đó xây dựng được 11 dãy vô hạn là nghiệm của q(x)

leviethai · 17-12-2010, 07:26 PM

Về riêng bài 1, có rất nhiều đại lượng có thể tìm được cực trị. Mình xin trình bày một số như sau. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức sau, với điều kiện như trên
a)$A=ab $

b)$B=\dfrac{a}{b} $

c)$C=\dfrac{4a+b}{c} $

d)$D=a^2b+b^2c+c^2a $ (đại lượng này xin đổi điều kiện là $a+b+c=5 $ và $a^2+b^2+c^2=9 $ để ra kết quả đẹp hơn).

manufc · 17-12-2010, 10:17 PM

Bài 2 có cách nào ko dùng đường đối cực ko nhỉ.thực sự mình chưa hiểu đường đối cực này lắm

vươnggiadhv · 18-12-2010, 10:51 AM

Bài 4 là đề chọn Đt Đà nẵng

15-12-2010, 07:09 PM	#6
Lan Phuog +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Thái Bình Bài gởi: 564 Thanks: 289 Thanked 326 Times in 182 Posts	Em xin đóng góp lời giải một số bài: Bài 1: Cho các số thực $ a,b,c $ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $ a+b+c=6 $ $ a^2+b^2+c^2=14 $ Chứng minh: $ (a-b)(b-c)(c-a) \le 2 $ Lời giải: Ta xét các TH sau i, $(a-b)(b-c)(c-a) \le 0 $ khi đó bđt hiển nhiên đúng ii, $(a-b)(b-c)(c-a) \ge 0 $ hay chỉ cần xét $c \ge b\ge a $ từ gt ta có $a+b=6-c, ab=c^2-6c+11 $, suy ra $(a-b)^2=12c-3c^2-8 $ Lúc đó $[(a-b)(b-c)(c-a)]^2=(12c-3c^2-8)[c^2-(a+b)c+ab]^2=(12c-3c^2-8)(3c^2-12c+11)^2=A $ Áp dụng bdt Cauchy ta có $ A \le \frac{4}{27}(12-3c^2-8+3c^2-12c+11)^3=4 $ Kết hợp với điều kiện đang xét ta có đpcm! Bài 2: Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B phân biệt thuộc (O). Lấy M là trung điểm AB. Một dây cung CD bất kỳ (khác AB) đi qua M. gọi K là giao điểm của AC và BD. KM cắt (O) tại 2 điểm I và H (I gần K hơn). AI cắt BH tại L. Chứng minh K, I, D, L thuộc cùng 1 đường tròn. Sử dụng OM vuông góc với AB và KL là đường đối cực của M suy ra AB song song với KL,kết hợp góc bằng nhau có đpcm Bài 3:Ta tô màu các ô của hình chữ nhật 9 x 11 bằng hai màu đen và trắng sao cho trong một hình chữ nhật 2 x 3 (hoặc 3 x 2) bất kỳ đều chứa đúng hai ô được tô màu đen. Chứng minh rằng đó đúng 33 ô được tô đen. Lời giải: Ta có các khẳng định sau 1, Trong 1 hình chữ nhật 2x9 có đúng 6 ô được tô đen 2, Trong 1 hình vuông 3x3 có đúng 3 ô được tô đen (2 điều trên cm dễ dàng bằng nguyên lí Đi-rich-le) Như vậy,bằng cách phân hoạch hình vuông 9x11 thành 1 hcn 2x9 và 9 hv 3x3 cho ta số ô tô đen là 9x3+6=33 Cách tô như sau: Đánh số dòng và cột tương ứng là (1,2,3,4,5,6,7,8,9); (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11) 1 ô (m,n) sẽ có vị trí ở dòng m,cột n Tô theo đường chéo từ trái sang phải và bắt đầu từ các ô (1,1);(1,4);(1,7);(1,10);(4,1);(7,1) Bài 5: Cho ABC là một tam giác không đều có góc BAC = 60. BD và CE là các đường phân giác trong của các góc B, C. Đường tròn tâm B bán kính BD cắt AB tại F và đường tròn tâm C bán kính CE cắt AC tại N. Chứng minh rằng FG song song với BC. Lời giải: đặt $ BC=a,CA=b,AB=c $ Áp dụng công thức đường phân giác ta có: $ BD=\frac{2ac.cos(\frac{A}{2})}{a+c} $, $ CE=\frac{2ab.cos(\frac{B}{2})}{a+b} $ Để chứng minh FG song song với BC ta chỉ cần cm $ \frac{BD}{c}=\frac{CE}{b} $ Đẳng thức trên đúng vì $ cos(\frac{A-B}{2})=cos(\frac{C-A}{2}) $ (do $B+C=2A $) ta có đpcm! Bài 6: Chứng rằng tồn tại các số nguyên dương a > 1, b > 1, c > 1 sao cho $ a^2 – 1 $ chia hết cho b, $ b^2 – 1 $ chia hết cho c và $ c^2 – 1 $ chia hết cho a và a + b + c > 2010. Lời giải: Ta chọn $a=2^{2^n}+1 $, $b=2^{2^n-1}+1 $, $c=2^{2^n} $ với n là số nguyên dương Rõ ràng các số trên thỏa mãn b chia hết $ a^2-1 $, c chia hết $ b^2-1 $ và a chia hết $ c^2-1 $ Khi đó ta chỉ cần chọn n đủ lớn thì $ a+b+c>2010 $ số 2010 chỉ mang tính chất thẩm mĩ, có thể thay bằng 1 số bất kì cho trước, vd $ 2010^{2010} $ thay đổi nội dung bởi: Lan Phuog, 16-12-2010 lúc 07:45 AM

15-12-2010, 07:26 PM	#7
nbkschool +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Đến từ: SMU Residence @Prinsep Hostel, 83 Prinsep Street, Singapore Bài gởi: 400 Thanks: 72 Thanked 223 Times in 106 Posts	Bài 6 chỉ cần chọn $a=n,b=2(n-1),c=2n-1 $ với n lẻ.(do $2(n-1) \| (n-1)(n+1) ; 2n-1 \| (2n-1)(2n-3)=4(n-1)^2-1 ; n \| 2n(2n-2)= (2n-1)^2-1 ) $ Bài số 3 mình có một cách hơi "trâu bò" là chứng minh với mỗi cột (hàng) thì 2 ô được tô đen liền nhau phải cách nhau đúng 3 ô. __________________ "Apres moi,le deluge"

15-12-2010, 09:30 PM	#8
hophinhan_LHP +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Đến từ: 12CT_THPT Chuyên LHP_TPHCM Bài gởi: 226 Thanks: 199 Thanked 136 Times in 81 Posts	Bài 1: $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2=4-27(abc-6)^2 $ __________________ ĐẠI HỌC THÔI !!!

16-12-2010, 05:13 PM	#11
hophinhan_LHP +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Đến từ: 12CT_THPT Chuyên LHP_TPHCM Bài gởi: 226 Thanks: 199 Thanked 136 Times in 81 Posts	Với bài 4 có những ý là chứng mình P(x) là hàm số chẵn (chú ý tới bậc 2010) sau đó đặt P(x)=Q(x^2) ; đặt tiếp Q(x)=S(x)+a trnog đó a là số thực thỏa a^2-1=a. Suy ra S(x) có vô số nghiệm thực_mâu thuẫn __________________ ĐẠI HỌC THÔI !!!

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây

13-12-2010, 12:07 AM	#2
manhnguyen94 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: 11 Toán CQB Bài gởi: 98 Thanks: 83 Thanked 69 Times in 38 Posts	Có lời giải đề số 6 chưa thầy ???

15-12-2010, 02:55 PM	#4
Lan Phuog +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Mar 2010 Đến từ: Thái Bình Bài gởi: 564 Thanks: 289 Thanked 326 Times in 182 Posts	Em chào thầy! Em nghĩ từ đề luyện số 7 này trở đi các thành viên trên diễn đàn có thể thảo luận trực tiếp lời giải thay vì việc gửi Email cho thầy. Như vậy sẽ tạo ra sự sôi nổi cho diễn đàn mình và có thể trình bày nhiều cách khác nhau cho 1 bài toán,sau đó thầy sẽ tổng hợp lại thành 1 file hoàn chỉnh. Thầy thấy thế nào ạ?

15-12-2010, 05:39 PM	#5
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Tôi đồng ý. Mọi người có thể thảo luận thẳng trên diễn đàn. Đây cũng là đề luyện VMO 2011 cuối cùng rồi.

16-12-2010, 08:37 AM	#10
Kratos +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2009 Đến từ: Toán 0912, PTNK, Tp.HCM Bài gởi: 87 Thanks: 25 Thanked 160 Times in 73 Posts	Bài 1 còn 1 cách giải khác như sau: Đặt $A=a^2b+b^2c+c^2a, B=ab^2+bc^2+ca^2 $ và $r=abc $. Dựa vào giả thiết ta tính được $A+B=66-3r $ và $AB=9r^2-180r+1331 (1). $ Rõ ràng ta chỉ cần xét $a \le b \le c $. Khi đó BDT cần chứng minh tương đương với $B-A \le 2 $ hay $(B-A)^2 \le 4 $ hay $(A+B)^2 - 4AB \le 4 $. Sử dụng $(1) $ và biến đổi tương đương ta được $(r-6)^2 \ge 0 $, đây là BDT đúng. Do đó ta có đpcm.

17-12-2010, 12:00 PM	#12
leonaole94 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Bài gởi: 23 Thanks: 2 Thanked 4 Times in 2 Posts	Bài 4:tồn tại q(x) bậc lẻ mà q(x^2)=p(x).suy ra (q(y))^2-1=q(t^2+2t+2).q(x) có nghiệm nên từ đó xây dựng được 11 dãy vô hạn là nghiệm của q(x)

17-12-2010, 07:26 PM	#13
leviethai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2008 Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình. Bài gởi: 513 Thanks: 121 Thanked 787 Times in 349 Posts	Về riêng bài 1, có rất nhiều đại lượng có thể tìm được cực trị. Mình xin trình bày một số như sau. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức sau, với điều kiện như trên a)$A=ab $ b)$B=\dfrac{a}{b} $ c)$C=\dfrac{4a+b}{c} $ d)$D=a^2b+b^2c+c^2a $ (đại lượng này xin đổi điều kiện là $a+b+c=5 $ và $a^2+b^2+c^2=9 $ để ra kết quả đẹp hơn).

17-12-2010, 10:17 PM	#14
manufc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 3 Thanks: 1 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài 2 có cách nào ko dùng đường đối cực ko nhỉ.thực sự mình chưa hiểu đường đối cực này lắm

18-12-2010, 10:51 AM	#15
vươnggiadhv +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Đến từ: hệ B, thpt chuyên ĐHV Bài gởi: 41 Thanks: 9 Thanked 7 Times in 7 Posts	Bài 4 là đề chọn Đt Đà nẵng