Kỳ Thi Chọn HSGQG Năm 2011 - Môn Toán Học - Đề Thi, Đáp Án và Kết Quả

**n.v.thanh** · 10-01-2011, 05:22 PM

Như các bạn đã biết, ngày 11 và 12 tháng 1 năm 2011, Bộ giáo dục tổ chức kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2011. Để tránh tình trạng nhiều topic,loãng diễn đàn không cần thiết và tiện cho việc thảo luận giữa các thành viên, thay mặt Ban Quản Trị, nvthanh1994 lập ra topic này. Đây sẽ là nơi thảo luận trong suốt kì thi VMO 2011. Ngày mai và ngày kia anh Novae (Tức anh Minh) đưa đề thi VMO 2011 tức đề quốc gia môn Toán lên theo hình thức từ bài 1 tới bài 7 thay vì 2 topic cho ngày 1 ngày 2 hoặc 1 topic mà có 2 bài 1. Mathscope có những yêu cầu sau:

Trích:

Mọi người tuyệt đối không lập bất cứ một topic nào khác để bàn luận cùng chủ đề với topic này,nếu có thì sẽ ngay lập tức bị đóng lại .
Biết rằng thi xong ai cũng muốn bày tỏ cảm xúc của mình nhưng mong mọi người hãy bình tĩnh một lát trong khi anh Novae đang cấp tốc soạn đề, sau khi có đề thì mọi người thì thoải mái thảo luận, tất nhiên phải có văn hóa, hợp với quy định của Mathscope và không lạc đề rồi.

Sau khi có kết quả cũng như đáp án, ban quản trị sẽ ngay lập tức cung cấp thông tin vào topic này cho tiện việc tra cứu của thành viên. Sau khi kì thi kết thúc sẽ có một topic mới gồm có:

Trích:

VMO 2011:
Preparation(mấy cái đề Prepare của thầy Dũng,đề thi chon các trường các tỉnh

Danh sách học sinh tham dự.

Đề thi,lời giải,đáp án(bộ năm nay có công bố đáp án)

Kết quả.

làm kỉ niệm và tiếp tục cho kì thi TST không lâu sau đó.

Mong rằng VMO năm nay sẽ diễn ra tốt

đẹp cho toàn thể học sinh tham dự kì thi và cả Mathscope!
Thân.
T

**novae** · 11-01-2011, 11:45 AM

Đề Thi Chọn HSGQG Năm 2011 - Môn Toán Học
Thời gian làm bài 180 phút
Ngày thi thứ nhất 11/1/2011

[Only registered and activated users can see links. ] (5.0 điểm)
Cho $x $ là số thực dương và $n $ là số nguyên dương. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{x^n \left( x^{n+1}+1 \right)}{x^n+1} \le \left( \frac{x+1}{2} \right)^{2n+1} $

Đẳng thức xảy ra khi nào?

[Only registered and activated users can see links. ] (5.0 điểm)
Cho dãy $\{x_n\} $ được xác định bởi:

$x_1=1;x_n=\frac{2n}{(n-1)^2} \sum_{i=1}^{n-1} x_i $

Chứng minh rằng dãy $y_n=x_{n+1}-x_n $ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty $

[Only registered and activated users can see links. ] (5.0 điểm)
Cho đường tròn $(O) $ đường kính $AB $. $P $ là một điểm trên tiếp tuyến của $(O) $ tại $B \; (P \ne B) $. Đường thẳng $AP $ cắt $(O) $ lần thứ hai tại $C $. $D $ là điểm đối xứng với $C $ qua $O $. Đường thẳng $DP $ cắt $(O) $ lần thứ hai tại $E $.

Chứng minh rằng $AE,BC,PO $ đồng quy tại $M $
Tìm vị trí của $P $ để diện tích tam giác $AMB $ lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R $ là bán kính của $(O) $

[Only registered and activated users can see links. ] (5.0 điểm)
Cho ngũ giác lồi $ABCDE $ có các cạnh và 2 đường chéo $AC,AD $ có độ dài không vượt quá $\sqrt3 $. Trong ngũ giác lồi lấy $2011 $ điểm phân biệt bất kì. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác lồi $ABCDE $ và chứa ít nhất $403 $ điểm trong số $2011 $ điểm đã cho

Chú ý:thí sinh không được sử dụng tài liệu nào khác hay máy tính cầm tay

------------------------------------------------------Hết ngày thi thứ nhất------------------------------------------------------

Đề Thi Chọn HSGQG Năm 2011 - Môn Toán Học

Thời gian làm bài 180 phút
Ngày thi thứ hai 12/1/2011

[Only registered and activated users can see links. ] (7 điểm):
Cho dãy số nguyên $(a_n) $ xác định bởi:
$a_0 =1; a_1=-1 $;

$a_n=6a_{n-1} + 5a_{n-2} $ với mọi $n \geq 2 $

Chứng minh rằng $a_{2012}-2010 $ chia hết cho $2011 $

[Only registered and activated users can see links. ] (7 điểm):
Cho tam giác $ABC $ không cân tại $A $ và có các góc $ABC $, $ACB $ là các góc nhọn. Xét 1 điểm $D $ di động trên cạnh $BC $ sao cho

$D $ không trùng với $B, C $ và hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đường thẳng $d $ vuông góc với $BC $ tại $D $cắt đường thẳng $AB $,

$AC $ tương ứng tại $E $ và$ F $. Gọi $M,N $ và $P $ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AEF, BDE $ và $CDF $. Chứng minh rằng

4 điểm $A, M, N, P $ cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng $d $ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC $

[Only registered and activated users can see links. ]: (6 điểm)
Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức
$P(x,y) = x^n + xy + y^n $ không thể viết dưới dạng

$P(x,y) = G(x,y).H(x,y) $

Trong đó $G(x,y) $ và $H(x,y) $ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng.

------------------------------------Hết-----------------------------

khicon · 11-01-2011, 11:53 AM

Có ai làm được bài tổ hợp không ạ???
em thấy bài này khá cơ bản, không biết hướng làm như thế nào?

------------------------------
Bài 1 có lẽ là chứng minh quy nạp, bài 2 chứng minh dãy tăng bị chặn trên bởi 4
không biết có đúng không nhỉ????

alibaba_cqt · 11-01-2011, 11:56 AM

Đây là bản chính thức của đề thi. Qua Scan nhưng vẫn đọc khá rõ.

**novae** · 11-01-2011, 11:56 AM

Trích:

Nguyên văn bởi khicon

Có ai làm được bài tổ hợp không ạ???
em thấy bài này khá cơ bản, không biết hướng làm như thế nào?

------------------------------
Bài 1 có lẽ là chứng minh quy nạp, bài 2 chứng minh dãy tăng bị chặn trên bởi 4
không biết có đúng không nhỉ????

Bài tổ hợp chứng minh 1 tam giác có 3 cạnh $\le \sqrt3 $ được phủ bởi 3 hình tròn đơn vị tâm tại đỉnh là xong

huy2710 · 11-01-2011, 11:59 AM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

Bài tổ hợp chứng minh 1 tam giác có 3 cạnh $\le 3 $ được phủ bởi 3 hình tròn đơn vị tâm tại đỉnh là xong

$\sqrt{3} $ chứ bạn. Mình cũng làm như vậy, phản chứng có tốt đa 402 điểm thuộc mỗi đường tròn, do đó cần ít nhất 6 đường tròn trong đó 5 đường tròn không thể phủ hết ngũ giác. Chứng minh cái của bạn nữa là xong

uh, mình gõ thiếu chút

**lion** · 11-01-2011, 12:00 PM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

Bài tổ hợp chứng minh 1 tam giác có 3 cạnh $\le 3 $ được phủ bởi 3 hình tròn đơn vị tâm tại đỉnh là xong

Nhưng 5 đường tròn tâm tại 5 đỉnh bán kính 1 không phủ hết ngũ giác!!!

hophinhan_LHP · 11-01-2011, 12:01 PM

Trích:

Nguyên văn bởi sonltv_94

Sax câu hình 3a là Pascal suy biến

chú ý trục đẳng phương của (PAB) voi (PCD)

nguyenmackhai · 11-01-2011, 12:02 PM

Thất bại vì mình quá kém

. Hic. Cho mình hỏi bài 2 các bạn làm ntn?

**n.v.thanh** · 11-01-2011, 12:05 PM

Bài hình dễ quá.
Cấu hình này mấy đề thi vào lớp 10 cho mãi rồi.

Ý 1:Kéo dài $AE $ cắt $PB $ ở $I $.Dễ có $CI $ song song $AB $(tứ giác $PCEI,ACEB $ nội tiếp)

Ý 2 Xét tỉ số $\dfrac{S_{MAB}}{S_{PAB}} =\frac{OM}{OP}=\frac{CA}{CA+2CP} $

Dưới mẫu AM-GM:

$CA+2CP\geq 2\sqrt{CA.2CP}=BC.2.\sqrt2 $

$ S_{PAB}=\frac{1}{2}PC.BC $

Đáp số $\frac{R^2}{\sqrt 2} $

Vị trí P sao cho$PB=R.2\sqrt2 $
Hứa hẹn ngày mai.Không biết là tổ hợp hay hình câu cuối do cả câu 2,4 hôm nay đều chưa phải tầm của câu hình hay tổ hợp khó nhất đề.Mong là tổ hợp cho chết cùng nhau
Tưởng tượng nên có thể sai vị trí điểm

huy2710 · 11-01-2011, 12:05 PM

Trích:

Nguyên văn bởi lion

Nhưng 5 đường tròn tâm tại 5 đỉnh bán kính 1 không phủ hết ngũ giác!!!

Đề cho các cạnh k vượt quá $\sqrt{3} $ mà bạn, mỗi hình tròn có bán kính là $1>\frac{\sqrt{3}}{2} $ rồi

can_hang2008 · 11-01-2011, 12:06 PM

Bài 1 khá cũ rồi. Bài gốc của nó là kết quả của bài BMO 2008:

Cho $a,\;b $ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2. $ Với mỗi $n \in \mathbb N^*, $ tìm tất cả các giả trị $m \in \mathbb N^* $ sao cho
$\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n} \ge a^m+b^m. $

khicon · 11-01-2011, 12:11 PM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

Bài tổ hợp chứng minh 1 tam giác có 3 cạnh $\le 3 $ được phủ bởi 3 hình tròn đơn vị tâm tại đỉnh là xong

thế nếu chứng minh theo hướng 5 đường tròn tâm là 5 trung điểm của 5 cạnh thì sao ạ??
em chứng minh 1 tứ giác có cạnh và 1 đường chéo nhỏ hơn hoặc bằng căn 3 thì bị phủ kín bởi 3 đường tròn đơn vị tâm là 3 trung điểm 3 cạnh, nhưng chưa chứng minh được trọn vẹn. không biết hướng này có đúng không???

ThangToan · 11-01-2011, 12:14 PM

Câu 1. Chứng minh bằng quy nạp:
Ta có $(\frac{x+1}{2})^{2n+3}=(\frac{x+1}{2})^{2n+1} (\frac{x+1}{2})^2\ge \frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1}.(\frac{x+1}{2 })^2 $.
Ta sẽ chứngminh $\frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1}.(\frac{x+1}{2 })^2\ge \frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1}.(\frac{x+1}{2})^2 $ bất đẳng thức này tương đương với: $(x^{n+1}-1)^2(x-1)^2\ge 0 $

khicon · 11-01-2011, 12:16 PM

Trích:

Nguyên văn bởi thangtoancvp

Câu 1. Chứng minh bằng quy nạp:
Ta có $(\frac{x+1}{2})^{2n+3}=(\frac{x+1}{2})^{2n+1}(\fra c{x+1}{2})^2\ge \frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1}.(\frac{x+1}{2 })^2 $.
Ta sẽ chứngminh $\frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1}.(\frac{x+1}{2 })^2\ge \frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1}.(\frac{x+1}{2})^2 $ bất đẳng thức này tương đương với: $(x^{n+1}-1)^2(x-1)^2\ge 0 $

uhm uhm, có lẽ đây là bài cho điểm

11-01-2011, 11:45 AM	#2
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	Đề Thi Chọn HSGQG Năm 2011 - Môn Toán Học Thời gian làm bài 180 phút Ngày thi thứ nhất 11/1/2011 [Only registered and activated users can see links. ] (5.0 điểm) Cho $x $ là số thực dương và $n $ là số nguyên dương. Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{x^n \left( x^{n+1}+1 \right)}{x^n+1} \le \left( \frac{x+1}{2} \right)^{2n+1} $ Đẳng thức xảy ra khi nào? [Only registered and activated users can see links. ] (5.0 điểm) Cho dãy $\{x_n\} $ được xác định bởi: $x_1=1;x_n=\frac{2n}{(n-1)^2} \sum_{i=1}^{n-1} x_i $ Chứng minh rằng dãy $y_n=x_{n+1}-x_n $ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty $ [Only registered and activated users can see links. ] (5.0 điểm) Cho đường tròn $(O) $ đường kính $AB $. $P $ là một điểm trên tiếp tuyến của $(O) $ tại $B \; (P \ne B) $. Đường thẳng $AP $ cắt $(O) $ lần thứ hai tại $C $. $D $ là điểm đối xứng với $C $ qua $O $. Đường thẳng $DP $ cắt $(O) $ lần thứ hai tại $E $. Chứng minh rằng $AE,BC,PO $ đồng quy tại $M $ Tìm vị trí của $P $ để diện tích tam giác $AMB $ lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R $ là bán kính của $(O) $ [Only registered and activated users can see links. ] (5.0 điểm) Cho ngũ giác lồi $ABCDE $ có các cạnh và 2 đường chéo $AC,AD $ có độ dài không vượt quá $\sqrt3 $. Trong ngũ giác lồi lấy $2011 $ điểm phân biệt bất kì. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác lồi $ABCDE $ và chứa ít nhất $403 $ điểm trong số $2011 $ điểm đã cho *Chú ý:thí sinh không được sử dụng tài liệu nào khác hay máy tính cầm tay* ------------------------------------------------------Hết ngày thi thứ nhất------------------------------------------------------ Đề Thi Chọn HSGQG Năm 2011 - Môn Toán Học Thời gian làm bài 180 phút Ngày thi thứ hai 12/1/2011 [Only registered and activated users can see links. ] (7 điểm): Cho dãy số nguyên $(a_n) $ xác định bởi: $a_0 =1; a_1=-1 $; $a_n=6a_{n-1} + 5a_{n-2} $ với mọi $n \geq 2 $ Chứng minh rằng $a_{2012}-2010 $ chia hết cho $2011 $ [Only registered and activated users can see links. ] (7 điểm): Cho tam giác $ABC $ không cân tại $A $ và có các góc $ABC $, $ACB $ là các góc nhọn. Xét 1 điểm $D $ di động trên cạnh $BC $ sao cho $D $ không trùng với $B, C $ và hình chiếu vuông góc của A trên BC. Đường thẳng $d $ vuông góc với $BC $ tại $D $cắt đường thẳng $AB $, $AC $ tương ứng tại $E $ và$ F $. Gọi $M,N $ và $P $ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AEF, BDE $ và $CDF $. Chứng minh rằng 4 điểm $A, M, N, P $ cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng $d $ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC $ [Only registered and activated users can see links. ]: (6 điểm) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $P(x,y) = x^n + xy + y^n $ không thể viết dưới dạng $P(x,y) = G(x,y).H(x,y) $ Trong đó $G(x,y) $ và $H(x,y) $ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng. ------------------------------------Hết----------------------------- __________________ M. thay đổi nội dung bởi: novae, 14-03-2011 lúc 08:36 PM Lý do: Lời giải bài 5

11-01-2011, 11:53 AM	#3
khicon +Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Bài gởi: 73 Thanks: 77 Thanked 19 Times in 14 Posts	Có ai làm được bài tổ hợp không ạ??? em thấy bài này khá cơ bản, không biết hướng làm như thế nào? ------------------------------ Bài 1 có lẽ là chứng minh quy nạp, bài 2 chứng minh dãy tăng bị chặn trên bởi 4 không biết có đúng không nhỉ???? thay đổi nội dung bởi: khicon, 11-01-2011 lúc 11:54 AM Lý do: Tự động gộp bài

11-01-2011, 12:02 PM	#9
nguyenmackhai +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Bài gởi: 52 Thanks: 18 Thanked 14 Times in 8 Posts	Thất bại vì mình quá kém. Hic. Cho mình hỏi bài 2 các bạn làm ntn?

11-01-2011, 12:05 PM	#10
n.v.thanh Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts	Bài hình dễ quá. Cấu hình này mấy đề thi vào lớp 10 cho mãi rồi. Ý 1:Kéo dài $AE $ cắt $PB $ ở $I $.Dễ có $CI $ song song $AB $(tứ giác $PCEI,ACEB $ nội tiếp) Ý 2 Xét tỉ số $\dfrac{S_{MAB}}{S_{PAB}} =\frac{OM}{OP}=\frac{CA}{CA+2CP} $ Chỗ này dùng Ceva là được Dưới mẫu AM-GM: $CA+2CP\geq 2\sqrt{CA.2CP}=BC.2.\sqrt2 $ $ S_{PAB}=\frac{1}{2}PC.BC $ Đáp số $\frac{R^2}{\sqrt 2} $ Vị trí P sao cho$PB=R.2\sqrt2 $ Hứa hẹn ngày mai.Không biết là tổ hợp hay hình câu cuối do cả câu 2,4 hôm nay đều chưa phải tầm của câu hình hay tổ hợp khó nhất đề.Mong là tổ hợp cho chết cùng nhau Tưởng tượng nên có thể sai vị trí điểm thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 11-01-2011 lúc 12:57 PM

11-01-2011, 12:06 PM	#12
can_hang2008 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2009 Bài gởi: 310 Thanks: 5 Thanked 751 Times in 187 Posts	Bài 1 khá cũ rồi. Bài gốc của nó là kết quả của bài BMO 2008: Cho $a,\;b $ là các số thực dương thỏa mãn $a+b=2. $ Với mỗi $n \in \mathbb N^, $ tìm tất cả các giả trị $m \in \mathbb N^ $ sao cho $\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n} \ge a^m+b^m. $ Kết quả là $m \le n+1. $ Và trường hợp $m=n+1 $ chính tương ứng với bài VMO này. __________________ The love makes us stronger! Võ Quốc Bá Cẩn

11-01-2011, 12:14 PM	#14
ThangToan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 570 Thanks: 24 Thanked 537 Times in 263 Posts	Câu 1. Chứng minh bằng quy nạp: Ta có $(\frac{x+1}{2})^{2n+3}=(\frac{x+1}{2})^{2n+1} (\frac{x+1}{2})^2\ge \frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1}.(\frac{x+1}{2 })^2 $. Ta sẽ chứngminh $\frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1}.(\frac{x+1}{2 })^2\ge \frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1}.(\frac{x+1}{2})^2 $ bất đẳng thức này tương đương với: $(x^{n+1}-1)^2(x-1)^2\ge 0 $ thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 11-01-2011 lúc 12:17 PM

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây