IMO 2015 - Đề thi, lời giải và kết quả đội tuyển

[tikita]

Một lời giải khác cho bài 6, mọi người xem thử!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dnqt6118]

Có lẽ kết quả ĐT Việt Nam năm nay cũng 3 HCV
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quytuan]

[Only registered and activated users can see links. ]
Kết quả 1 phần của đoàn Việt Nam, bài 1 một số bạn chỉ làm được 1 nửa, bài 6 hầu như không ai làm được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quytuan]

[Only registered and activated users can see links. ]
Theo kết quả 1 phần ở đây thì đội tuyển việt nam có kết quả khá khả quan.1 bạn làm được hết ngày 1. Tuy nhiên cũng có bạn làm ngày 1 chỉ được 6 điểm. Dự kiến thì đoàn việt nam sẽ có kết quả tương đương năm trước: 3 vàng, 2 bac, 1 đồng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tikita]

Kết quả của đoàn Việt Nam: Xếp thứ 5 toàn đoàn với 2V,3B,1Đ, chúc mừng các học sinh Việt Nam. Kết quả cụ thể

Xuân Trung Vũ 7 7 7 7 6 0 34 8 98.78% Gold medal
Thế Hoàn Nguyễn 7 5 7 7 5 0 31 10 98.44% Gold medal
Anh Tài Hoàng 7 3 1 7 7 0 25 40 93.23% Silver medal
Huy Hoàng Nguyễn 4 2 7 7 1 2 23 58 90.10% Silver medal
Hải Đăng Nguyễn Tuấn 7 2 0 7 7 0 23 58 90.10% Silver medal
Việt Hà Nguyễn Thị 3 2 1 7 2 0 15 217 62.50% Bronze medal

Hoặc các bạn xem chi tiết tại: http://imo-official.org/team_r.aspx?code=VNM&year=2015
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quytuan]

Đã có kết quả kì thi năm 2015
2HCV:Vũ Xuân Trung (34 điểm); Nguyễn Thế Hoàn (31 điểm)
3 HCB: Hoàng Anh Tài (25 điểm), Nguyễn Huy Hoàng (23 điểm), Nguyễn Tuấn Hải Đăng (23 điểm)
1 HCĐ: Nguyễn Thị Việt Hà (15 điểm)
Cut-off năm nay HCV,HCB;HCĐ là 26,19,14
Năm nay đánh dấu kỉ lục từ trước đến giờ cho năm có điểm cut-off thấp nhất cho HCV: 26 điểm
Chúc mừng Nguyễn Thế Hoàn là người thứ 7 được 2 HCV, và là người thứ 5 của chuyên KHTN làm được điều này.
Thành viên ít tuổi nhất Vũ Xuân Trung (lớp 11) đạt số điểm cao nhất đoàn, hi vọng sẽ kiếm thêm được 1 HCV vào năm tới
Đoàn Việt Nam đứng ở vị trí thứ 5 trên 104 quốc gia tham dự, là vị trí cao nhất kể từ năm 2008 đến giờ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[sieubebu]

Tìm mãi mới thấy người đạt điểm tuyệt đối. Lại là một bác người gốc Tàu Zhuo Qun (Alex) Song. Bác này 5 lần vàng, 1 lần đồng (ngả mũ bái phục) .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nguyên văn bởi sieubebu

Năm nay ai được điểm tuyệt đối thế mọi người. Mình tìm trong mấy bác tàu và hàn thì không thấy

Alex Song của Canada bạn nhé. kỉ lục 5 HCV.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[duykhanhht]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Câu 2: Theo đề bài, ta đặt $ab-c=2^x, bc-a=2^y,ca-b=2^z$ , giả sử $x \ge y\ ge z$, từ đó ta có $b \ge a \ge c$. Giả sử $c \ge 4$
Có:
$\begin{cases}bc-a-ca+b=2^z(2^{y-z}-1)\\bc-a+ca-b=2^z(2^{y-z}+1)\end{cases} \\
\Leftrightarrow \begin{cases}(c+1)(b-a)=2^z(2^{y-z}-1) (1)\\(c-1)(b+a)=2^z(2^{y-z}+1)(2) \end{cases}$ .
Lấy (1) chia (2), được:
$\frac{b-a}{b+a}=\frac{2^{y-z}-1}{2^{y-z}+1}.\frac{c-1}{c+1} \ge \frac{2^{y-z}-1}{2^{y-z}+1}.\frac{1}{2} \\
\Leftrightarrow 2^{y-z} \le 2$
.TH 1: $2^{y-z}=1 \Rightarrow y=z \Rightarrow c=2$ (vô lý)
.TH 2: $2^{y-z}=2 \Rightarrow y=z+1$.
vì $y=z+1$ nên $bc-a=2ca-2b \Leftrightarrow c(b-2a)=a-2b$
Vì $c \ge 4$ nên $a-2b \ge 4(b-2a)\Leftrightarrow 3a \ge 2b$. Từ đó có $\frac{a+b}{b-a} \ge 5$.
Ta có: $\frac{c+1}{c-1} > 5.\frac{2^{y-z}-1}{2^{y+z}+1}$. Từ đấy tìm ra $c < 4$ (vô lý).
Vậy ta phải có $c \le 3$ và tìm ra được các bộ nghiệm ứng với $(a,b,c)$ là $(2,2,2), (2,3,2), (5,7,3), (6,11,2)$.

Chỗ suy ra $2^(y-z)\le 2$ hình như chưa đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nguyên văn bởi duykhanhht

Chỗ suy ra $2^(y-z)\le 2$ hình như chưa đúng.

Cảm ơn bạn. Mình sửa rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phatak12cqt]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Cảm ơn bạn. Mình sửa rồi.

cái khúc (1) chia (2) rồi nhân chuyển vế bạn nhầm rồi kìa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]