Đề chọn đội tuyển chuyên sư phạm Hà Nội 2018-2019

[Song HÃ]

1. Cho $n$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $\left\{x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_n\right\}$ là một hoán vị của $\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$, (tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng$$\sum\limits_{k = 1}^n {k{x_k}\left( {k + {x_k}} \right)} \le \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{2}.$$
2. Cho các số nguyên $m,\,n$ lớn hơn $1$ thỏa mãn trong $n$ số $x^2-x$ với $x=1,\,2,\,\ldots n$ không có hai số nào cùng số dư khi chia $m$. Chứng minh rằng:

1. $m\ge 2n-1$,
   
2. $m=2n-1$ thì $m$ là số nguyên tố lẻ.

3. Với mỗi số nguyên $n>1$ ta gọi một hoán vị $\left\{a_1,\,a_2,\,\ldots,\,a_n\right\}$ của $\left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$,(tập hợp gồm $n$ số nguyên dương đầu tiên) là tốt nếu \[\left| {{a_1} - 1} \right| = \left| {{a_2} - 2} \right| = \ldots = \left| {{a_n} - n} \right| \ne 0.\] Chứng minh rằng

1. Không tồn tại hoán vị tốt nếu $n$ lẻ.
2. Nếu $n$ chẵn thì số các hoán vị tốt bằng số các ước dương của $\dfrac{n}{2}$.

4. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ $P,\,Q$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB,\,OAC$. $R$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$. Gọi $X$ là giao điểm của $RP$ và $CP$, $Y$ là giao điểm của $RC$ và $BQ$. Chứng minh rằng $\widehat{BAX} = \widehat{YAC}$.

5. Cho tam thức bậc hai $f(x)=x^2+ax+b$, với $a,\,b\in\mathbb{R}$. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực $x_0$ sao cho $f(f(x_0))=0$. Chúng minh rằng $a,\,b$ là các số không âm.

6. Cho ba số dương $a_1,\,b_1,\,c_1$ thỏa mãn $a_1+b_1+c_1=1$ và các dãy số $\left( {{a_n}} \right),{\mkern 1mu} \left( {{b_n}} \right),{\mkern 1mu} \left( {{c_n}} \right)$, thỏa mãn \[{a_{n + 1}} = {a_n}^2 + 2{b_n}{c_n},\,\quad\quad {b_{n + 1}} = {b_n}^2 + 2{a_n}{c_n},\,\quad\quad {c_{n + 1}} = {c_n}^2 + 2{a_n}{c_n},\;\ \forall n\in\mathbb{N^*}.\] Xét dãy $x_n$ xác định bởi \[{x_n} = {a_n}^2 + {b_n}^2 + {c_n}^2, \forall n\in\mathbb{N^*}.\] Chứng minh

1. ${x_{n + 1}} = \dfrac{{2{x_n}^2 + {{\left( {{x_n} - 1} \right)}^2}}}{2}$,
2. $\left( {{x_n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty $ hãy tìm giới hạn đó.

7. Ghi lên bảng $2018$ số nguyên dương đầu tiên. Thực hiện thuật toán sau: mỗi lần cho phép xóa đi hai số $a,\,b$ mà không có số nào là bội của số kia và thay thế chúng bởi hai số khác là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của $a,\,b$ hỏi ta có thể thực hiện thuật toán trên vô hạn lần không? Vì sao?

8. Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp đường tròn $O$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi $E$ là giao điểm của $BI$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $CI$ và $AB$; $M,\,N$ lần lượt là giao điểm thứ hai của $BI$ và $CI$ và đường tròn $O$. Đường thẳng $BI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BNF$ tại điểm thứ hai $P$, đường thẳng $CI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $CME$ tại điểm thứ hai $Q$.

1. Chứng minh rằng tứ giác $EFBQ$ nội tiếp một đường tròn.
2. Qua $I$ kẻ đường thẳng $\Delta$ vuông góc với $BC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EFBQ$ nằm trên $\Delta$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]