Đề thi VMO Mock test 2019

[huynhcongbang]

Hướng tới VMO 2019, mình có soạn đề thi thử này, gửi mọi người tham khảo.

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ xác định bởi ${{a}_{0}},{{b}_{0}}\in \mathbb{R}$ và với mỗi $n\ge 0,$ các số hạng ${{a}_{n+1}},{{b}_{n+1}}$ được xác định theo ${{a}_{n}},{{b}_{n}}$ bởi một trong hai cách:
i) ${{a}_{n+1}}=\frac{2018{{a}_{n}}}{2019},\text{ }{{b}_{n+1}}=1-\frac{{{a}_{n}}}{2019}$ hoặc
ii) ${{a}_{n+1}}=a_{n}^{2},\text{ }{{b}_{n+1}}={{a}_{n}}$.
a) Chứng minh rằng nếu ${{a}_{0}}\in (-1;1)$ thì dãy số $({{a}_{n}})$ có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
b) Giả sử ${{a}_{2018}}\le {{a}_{0}},$ tìm giá trị lớn nhất của tổng $$S={{b}_{1}}+{{b}_{2}}+\cdots +{{b}_{2018}}.$$

Bài 2. (5 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O).$ Một đường tròn $({O}')$ thay đổi, luôn đi qua $B,C$ và cắt các cạnh $AB,AC$ theo thứ tự ở $D,E.$ Gọi ${D}',{E}'$ lần lượt là các điểm đối xứng với $D,E$ qua trung điểm các cạnh $AB,AC.$
1) Chứng minh rằng trung điểm ${D}'{E}'$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.
2) Trên cung nhỏ và cung lớn $BC$ của $(O)$, lần lượt lấy các điểm $R,S$ sao cho $(DER),(DES)$ tiếp xúc trong với $(O).$Phân giác trong của các góc $BRC,BSC$ cắt nhau ở $K.$ Chứng minh rằng đường tròn $(DEK)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng $BC.$

Bài 3. (5 điểm) Đa thức $f(x)$ hệ số thực được gọi là “đẹp” nếu có thể biểu diễn thành
$$f(x)={{\left( P(x) \right)}^{3}}-{{\left( Q(x) \right)}^{2}},$$
trong đó $P(x),Q(x)$ là các đa thức hệ số thực.
a) Chứng minh rằng $f(x)=2018{{x}^{2}}-2019$ là đa thức đẹp.
b) Hỏi có tồn tại hay không đa thức $f(x)$ bậc nhất là đa thức đẹp?

Bài 4. (5 điểm) Một bảng ô vuông kích thước $2019\times 2019$ được phủ kín bởi các hình: chữ $L,$ vuông gồm 3 ô, hình $2\times 2$ và chữ $Z$ gồm 4 ô (có thể xoay hình tùy ý nhưng không được đè lên nhau).

a) Hỏi có thể phủ được bảng hay không nếu không sử dụng hình vuông $2\times 2$ nào?
b) Chứng minh rằng trong mọi cách phủ, ta đều cần dùng ít nhất $4039$ hình chữ $L.$

Bài 5. (6 điểm) Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện
$$0<z\le y\le x\le 8 \text{ và } 3x+4y\ge \max \left\{ xy;\frac{1}{2}xyz-8z \right\}.$$
a) Chứng minh rằng $\frac{8}{x}+\frac{6}{y}+\frac{3}{z}\ge 3.$
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{x}^{5}}+{{y}^{5}}+{{z}^{5}}.$

Bài 6. (7 điểm) Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,AC$ và $D$ là trung điểm cung lớn $BC$ của $(O).$ Giả sử $K$ là một điểm nằm trong tam giác và thỏa mãn $\angle KAB=2\angle KBA,\text{ }\angle KAC=2\angle KCA$.
a) Chứng minh rằng $KA=KD.$
b) Giả sử $AD$ cắt $BC$ ở $T$và $TM$ cắt $(BMC)$ ở $R,$ $TN$ cắt $(BNC)$ ở $S.$ Gọi $P$ là giao điểm của $KB$ và $OM,$ $Q$ là giao điểm của $KC$ và $ON.$ Chứng minh rằng trục đẳng phương của hai đường tròn $(TQR),(TPS)$ đi qua $O.$

Bài 7. (7 điểm) Với các số nguyên $a,b$ nguyên tố cùng nhau và $a>b>1$, xét dãy số sau
$${{u}_{n}}=\varphi \left( {{a}^{2n-1}}+{{b}^{2n-1}} \right)$$ vá»›i $n=1,2,3,\ldots $
trong đó $\varphi (x)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $x$ và nguyên tố cùng nhau với $x.$
a) Chứng minh rằng nếu $p>3$ là số nguyên tố lẻ và có số hạng nào đó của dãy trên bằng $2p$ thì $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1).$
b) Chứng minh rằng ${{u}_{1}}{{u}_{2}}\ldots {{u}_{1009}}$ chia hết cho $\frac{2018!}{1009!}$.

Dưới đây là đáp án chi tiết của đề thi:

https://drive.google.com/file/d/1sc6...ew?usp=sharing
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 5. (6 điểm) Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện
$$0<z\le y\le x\le 8 \text{ và } 3x+4y\ge \max \left\{ xy;\frac{1}{2}xyz-8z \right\}.$$
a) Chứng minh rằng $\frac{8}{x}+\frac{6}{y}+\frac{3}{z}\ge 3.$
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{x}^{5}}+{{y}^{5}}+{{z}^{5}}.$

Bài T10/374 của THTT
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]