Topic về Giới hạn Dãy số, Hàm số

[Red Devils]

Mình xin mở đầu Topic bằng một vài bài toán ở mức độ vừa phải.
Bài toán 1: Cho $f, g $ là hai hàm tuần hoàn xác định trên $R $ thoả mãn:

$\lim_{x\rightarrow +\propto }[f(x)-g(x)]=0 $

Chứng minh rằng: $f(x)\equiv g(x) $
Bài toán 2: Cho hàm $f:N\rightarrow R $ thoả mãn điều kiện với mọi đa thức bậc hai $P(x) $ bất kì với các hệ số nguyên không âm thì ta đều có:

$\lim_{n\rightarrow +\propto }[f(P(n))+f(n)]=0 $

Chứng minh hay phản bác mệnh đề: $\lim_{n\rightarrow +\propto }f(n)=0 $

Mọi người cùng giải và đóng góp thêm các bài toán khác nhé.
Lưu ý:
-Khi giải ghi rõ bài được giải:
Ví dụ:

Bài toán 1: Cho $f, g $ là hai hàm tuần hoàn xác định trên $R $ thoả mãn:

$\lim_{x\rightarrow +\propto }[f(x)-g(x)]=0 $

Chứng minh rằng: $f(x)\equiv g(x) $
Lời giải:

-Khi post thêm bài nhớ ghi rõ số thứ tự của bài.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vannam_dn]

Bài 3. Tính: ${\lim }\limits_{x \to \infty } (1 - \frac{2}{{2.3}})(1 - \frac{2}{{3.4}})...(1 - \frac{2}{{(n + 1)(n + 2)}}). $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Poincare]

Lời giải Bài 3.

Biến đổi đại diện: $1 - \frac{2}{{(n + 1)(n + 2)}}=\frac{n(n+3)}{(n+1)(n+2)} $
Thế thì $P = \frac{{1.4}}{{2.3}}.\frac{{2.5}}{{3.4}}.\frac{{3.6 }}{{4.5}}.\frac{{4.7}}{{5.6}}.\frac{{5.8}}{{6.7}}. .......\frac{{n(n + 3)}}{{(n + 1)(n + 2)}} = \frac{{n + 3}}{{3(n + 1)}} \to \lim (P_n ) = \lim \frac{{n + 3}}{{3(n + 1)}} = \frac{1}{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyenvannam]

1) Chứng minh rằng:$ {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{a} = 1 $; Với a> 0

2) Chứng minh rằng:$\ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0(a \in R) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Red Devils]

Nguyên văn bởi nguyenvannam

Bài toán 4: Chứng minh rằng:$ {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{a} = 1 $; Với a> 0

Bài toán 5: Chứng minh rằng:$\ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0(a \in R) $

Cả hai bài này đều quen thuộc cả, nhưng nếu không nhầm thì đề bài 5 phải như mình sửa lại mới đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[modular]

Nếu hai hàm g và f của bài 1 có cùng chu kỳ T thì với mỗi x thuộc R, mỗi số nguyên dương n ta có f(x)-g(x)=f(x+nT)-g(x+nT). Cho n ra vô cùng được ngay f(x)=g(x). Tiếc là f và g chưa biết cùng chu kì. Ghét thế!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi modular

Nếu hai hàm g và f của bài 1 có cùng chu kỳ T thì với mỗi x thuộc R, mỗi số nguyên dương n ta có f(x)-g(x)=f(x+nT)-g(x+nT). Cho n ra vô cùng được ngay f(x)=g(x). Tiếc là f và g chưa biết cùng chu kì. Ghét thế!

ta chứng minh f và g có chung một chu kì nào đó. Giả sử $T_1 $ là một chu kì của g, $T_2 $ là một chu kì của f. Với mọi x, ta có
$\lim\limits_{n\to +\infty}(f(x+nT_2)-g(x+nT_2))=0 $
do đó
$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}g(x+nT_2) $
từ điều này ta có
$f(x+T_1)=\lim\limits_{n\to +\infty}g(x+T_1+nT_2)=\lim\limits_{n\to +\infty}g(x+nT_2)=f(x) $
tức là $T_1 $ là một chu kì của f.
------------------------------
bài 2, nếu f chỉ nhận giá trị là số tự nhiên thì f bằng 0 khi n đủ lớn. do đó giới hạn là 0.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Red Devils]

Nguyên văn bởi Red Devils

Bài toán 2: Cho hàm $f:N\rightarrow R $ thoả mãn điều kiện với mọi đa thức bậc hai $P(x) $ bất kì với các hệ số nguyên không âm thì ta đều có:

$\lim_{n\rightarrow +\propto }[f(P(n))+f(n)]=0 $

Chứng minh hay phản bác mệnh đề: $\lim_{n\rightarrow +\propto }f(n)=0 $

Sorry mọi người, bài 2 mình gõ sai đề, Mod sửa hộ mình cái
Bài đúng phải là $f:N\rightarrow R $
Mình xin được ta lỗi bằng 1 bài (mình có thêm thắt một chút) trong tuyển tập của thầy Nam Dũng:
Bài toán 6: Cho dãy số $(a_n) $ xác định bởi công thức truy hồi:
$a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} $.
Tìm $\lim_{n\rightarrow +\propto }(a_1+a_2+...+a_n) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hophinhan_LHP]

Nguyên văn bởi Red Devils

Sorry mọi người, bài 2 mình gõ sai đề, Mod sửa hộ mình cái
Bài đúng phải là $f:N\rightarrow R $
Mình xin được ta lỗi bằng 1 bài (mình có thêm thắt một chút) trong tuyển tập của thầy Nam Dũng:
Bài toán 6: Cho dãy số $(a_n) $ xác định bởi công thức truy hồi:
$a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} $.
Tìm $\lim_{n\rightarrow +\propto }(a_1+a_2+...+a_n) $

Chủ yếu là tìm cái sai phân thui

GIẢI :

Do : $a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1}=a_n-\frac{a_n.(a_n-1)^2}{a_n^2-a_n+1} $

$=>\ (a_n) $ là dãy giảm chặn dưới $0 $. Tìm được $\lim_{n\rightarrow +\propto}a_n=0 $

Ta có :$ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1} $

$<=> a_n=\frac{1}{a_{n+1}-1}-\frac{1}{a_n-1} $

Vậy :

$\lim_{n\rightarrow +\propto }\ (a_1+a_2+...+a_n)=\lim_{n\rightarrow +\propto }\ (\frac{1}{a_{n+1}-1}-\frac{1}{a_1-1})=-1-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[modular]

Nguyên văn bởi nguyenvannam

1) Chứng minh rằng:$ {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{a} = 1 $; Với a> 0

2) Chứng minh rằng:$\ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{a^n}}}{{n!}} = 0(a \in R) $

Phần 2) thì sai rồi, phần 1) thì chỉ cần làm với a>1 là đủ. Khi đó $1<\sqrt[n]{a}<(n-1+a)/n $. Xong!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mashimaru]

Nguyên văn bởi modular

Phần 2) thì sai rồi, phần 1) thì chỉ cần làm với a>1 là đủ. Khi đó $1<\sqrt[n]{a}<(n-1+a)/n $. Xong!

Phần 2 cũng đúng ạ.

Rõ ràng chỉ cần xét $a>0 $. Tồn tại số nguyên dương $N $ sao cho $a<N $. Ta có:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = \frac{a^N}{N!} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{a^{n-N}}{(n-N+1)(n-N+2)...(n-1)n}\right) = 0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[modular]

Ờ nhỉ, quên mất! Hàm giai thừa tăng nhanh hơn hàm mũ mà.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thamtusieuquay]

_Các phần này bạn có thể tham khảo sách của Phan Huy Khải (sách đại số 11 có chứng minh hết), còn phần chứng minh bằng giới hạn thì có nhiều cách lắm, trong sách thầy Khải thì trình bày 5 phương pháp cơ bản và một số công thức giới hạn khác như Lagrange,Lopitan (dùng cho dạng 0:0 và vô cực : vô cực ), các bạn có thể tham khảo thêm cuốn Phương trình Hàm của Nguyễn Văn Mậu (có chứng minh giới hạn trong hàm số) , và cuốn các bài toán hàm số của thầy Tuấn (Chuyên Hùng Vương-Plây Ku ) ,có ứng dụng giới hạn trong giải phương trình hàm cũng khá hay . Ngoài ra , các bạn cũng có thể tham khảo cuốn tập 3 Giải tích trong tuyển tập 200 bài toán vô địch có một số bài dùng giới hạn để giải dãy số, Phương trình hàm. Nói chung nếu bạn nắm kĩ được giới hạn thì sẽ có thể giải được nhiều bài toán dãy số và PTH rất nhanh chóng.Chúc các bạn học tốt.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyenvannam]

Bài toán 7 Tính: $ {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{n}{{{a^{n + 1}}}}\left( {a + \frac{{{a^2}}}{2} + ... + \frac{{{a^n}}}{n}} \right), a > 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi nguyenvannam

Tính: $ {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{n}{{{a^{n + 1}}}}\left( {a + \frac{{{a^2}}}{2} + ... + \frac{{{a^n}}}{n}} \right), a > 1 $

Tác giả topic đã có yêu cầu là đánh số bài cho dễ theo dõi thì bạn cũng nên theo đó mà làm chứ

Nguyên văn bởi thamtusieuquay

_Các phần này bạn có thể tham khảo sách của Phan Huy Khải (sách đại số 11 có chứng minh hết), còn phần chứng minh bằng giới hạn thì có nhiều cách lắm, trong sách thầy Khải thì trình bày 5 phương pháp cơ bản và một số công thức giới hạn khác như Lagrange,Lopitan (dùng cho dạng 0:0 và vô cực : vô cực ), các bạn có thể tham khảo thêm cuốn Phương trình Hàm của Nguyễn Văn Mậu (có chứng minh giới hạn trong hàm số) , và cuốn các bài toán hàm số của thầy Tuấn (Chuyên Hùng Vương-Plây Ku ) ,có ứng dụng giới hạn trong giải phương trình hàm cũng khá hay . Ngoài ra , các bạn cũng có thể tham khảo cuốn tập 3 Giải tích trong tuyển tập 200 bài toán vô địch có một số bài dùng giới hạn để giải dãy số, Phương trình hàm. Nói chung nếu bạn nắm kĩ được giới hạn thì sẽ có thể giải được nhiều bài toán dãy số và PTH rất nhanh chóng.Chúc các bạn học tốt.

Tốt nhất là đọc bài tập giải tích của Nowak tập 1, do Đoàn Chi dịch, cho nó có phương pháp. Download ở đây [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]