Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tổ Hợp > Chuyên Đề

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


 
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Prev Previous Post   Bài tiếp Next
Old 22-03-2012, 06:04 PM   #1
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts
Phương pháp sử dụng hàm sinh xác định công thức tổng quát của dãy số

Chào các bạn. Trong chuyên đề hàm sinh lần trước mình có nói đến một phần kiến thức sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số . Sau đó mình có thời gian hơn thì mình viết sâu thêm về vấn đề này. bài viết này mình cũng đã hoàn thành khá lâu nhưng nay mới có dịp đăng tặng các bạn nhân dịp kỉ niệm 26 tháng 3 sắp tới.

I. Cơ sở lí thuyết hàm sinh

1.Định nghĩa: Hàm sinh của dãy số vô hạn $a_{0} ,a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} ,...$ là là một chuỗi hình thức được xác định bởi $G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...+a_{n} x^{n} +...$:
2.Một số đẳng thức thường dùng trong hàm sinh:
a, $\dfrac{1}{1-x} =1+x+x^{2} +x^{3} +...$
b, $\dfrac{1}{(1-x)^{2} } =1+2x+3x^{2} +4x^{3} +...$

c, $\dfrac{1}{(1-x)^{n} } =1+nx+\frac{n(n+1)}{2!} x^{2} +\frac{n(n+1)(n+2)}{3!} x^{3} +...=\sum _{i=0}^{\infty }C_{i+n-1}^{i} x^{i} $ với $n\in N$

d, $\dfrac{1}{1+x} =1-x+x^{2} -x^{3} +...$

e, $\dfrac{1}{(1-ax)^{2} } =1+2ax+3a^{2} x^{2} +4a^{3} x^{3} +...$

f, $\dfrac{1}{1-x^{r} } =1+x^{r} +x^{2r} +x^{3r} +...$

g, $\dfrac{1}{1+x^{r} } =1-x^{r} +x^{2r} -x^{3r} +...$

II.Ứng dụng hàm sinh vào các bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số điển hình.
Thông thường các bạn biết đến phương pháp chứng minh quy nạp hoặc phương pháp giải phương trình sai phân để tìm công thức tổng quát của dãy số . Bài viết này nhằm cung cấp cho các bạn thêm một phương pháp nữa cũng khá hay để tìm công thức tổng quát của dãy số dựa trên cơ sở hàm sinh.Hi vọng rằng qua 8 ví dụ minh họa sau bạn đọc sẽ nắm chắc và vận dụng phương pháp sử dụng hàm sinh tìm công thức tổng quát của dãy số.

Ví dụ 1:

Tìm công thức tổng quát của dãy số Fibonacci($F_n$ )với :
\[\left\{\begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} =1} \\ {F_{n} =F_{n-1} +F_{n-2} } \end{array}\right. n\ge 3\]
Lời Giải
Đặt $G(x)$ là hàm sinh cho dãy $(F_n )$, và giả sử $F_0=0$ chúng ta có:
$$G(x)=F_{0} +F_{1} x+F_{2} x^{2} +F_{3} x^{3} +... $$$$-xG(x)= -F_{0} x-F_{1} x^{2} -F_{2} x^{3} -... $$$$-x^{2} G(x)= -F_{0} x^{2} -F_{1} x^{3} -F_{2} x^{4} -... $$ Từ 3 đẳng thức trên, ta có :
\[(1-x-x^{2} )G(x)=F_{0} +(F_{1} -F_{0} )x+(F_{2} -F_{1} -F_{0} )x^{2} +...=x\]
\[\Leftrightarrow G(x)=\frac{x}{1-x-x^{2} } \]
Phân tích $G(x)=\dfrac{x}{1-x-x^{2} } =\dfrac{A}{1-\alpha x} +\dfrac{B}{1-\beta x} $
Với $\alpha =\dfrac{1+\sqrt{5} }{2} ;\beta =\dfrac{1-\sqrt{5} }{2} $ là hai nghiệm của phương trình $1-x-x^{2} =0$\\
Quy đồng và đồng nhất hệ số, chúng ta được $A=\frac{1}{\sqrt{5} } ;B=-\frac{1}{\sqrt{5} } $.
Vậy $G(x)=\dfrac{x}{1-x-x^{2} } =\dfrac{1}{\sqrt{5} } \left(\dfrac{1}{1-\alpha x} -\dfrac{1}{1-\beta x} \right)$

\[\Leftrightarrow \sqrt{5} G(x)=\left(\dfrac{1}{1-\alpha x} -\dfrac{1}{1-\beta x} \right)=\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha x)^{n} - \sum _{k=1}^{\infty }(\beta x)^{n} =\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha ^{n} - \beta ^{n} )x^{n} \]
Vậy $G(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\dfrac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\sqrt{5} } x^{n} $
Hệ số của trong khai triển là $F_{n} =\dfrac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\sqrt{5} } =\dfrac{1}{\sqrt{5} } \left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\left(\dfrac{1-\sqrt{5} }{2} \right)^{n} \right]$
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng $F_{n} =\frac{1}{\sqrt{5} } \left[\left(\frac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\left(\frac{1-\sqrt{5} }{2} \right)^{n} \right]$,$n\ge 0$
Nhận xét: Vậy với cách sử dụng hàm sinh chúng ta cũng đã tìm ra được công thức tổng quát của dãy số Fibonacci nổi tiếng.
Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu thêm một số ví dụ tương tự như dãy trên để thấy rõ tính hiệu quả của phương pháp hàm sinh. Chũng ta cùng đi đến ví dụ sau:

Ví dụ 2

Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$ )với :
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =1;a_{1} =2} \\ {a_{n+2} =5a_{n+1} -4a_{n} } \end{array}\right. n\ge 0 (*)\]
Lời Giải
Đặt $G(x)$ là hàm sinh cho dãy ($a_n$ ), chúng ta có:
$G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +... $
$ -5xG(x)= -5a_{0} x-5a_{1} x^{2} -5a_{2} x^{3} +... $
$4x^{2} G(x)= 4a_{0} x^{2} +4a_{1} x^{3} +... $
Cộng ba đẳng thức trên và kết hợp (*) ta có:\[G(x)-5xG(x)+4x^{2} G(x)=a_{0} +(a_{1} -5a_{0} )x+(a_{2} -5a_{1} +4a_{0} )x^{2} +...=1-3x\]
\[\Leftrightarrow (1-5x+4x^{2} )G(x)=1-3x\]
Do đó $G(x)=\dfrac{1-3x}{1-5x+4x^{2} } =\dfrac{2}{3} \left(\dfrac{1}{1-x} \right)+\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{1-4x} \right)$
\[=\dfrac{2}{3} (1+x+x^{2} +...)+\dfrac{1}{3} {\rm [}1+(4x)+(4x)^{2} +...{\rm ]}\]
Do đó hệ số của $x^n$ trong khai triển của $G(x)$ là $\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} 4^{n} $ nên $a_{n} =\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} 4^{n} $,$n\ge 0$.
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng $a_{n} =\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} 4^{n} $,$n\ge 0$.
Nhận xét:Như vậy hàm sinh đã giải quyết tốt bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi:
$\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =a;a_{1} =b} \\ {a_{n+2} =p.a_{n+1} +q.a_{n} } \end{array}\right. n\ge 0$
Để ý với bài toán ở ví dụ1 và ví dụ 2, chúng ta thấy hàm G(x) có mẫu số là tam thức bậc hai, chẳng hạn ở ví dụ 2 chúng ta có mẫu số của hàm sinh là $f(x)=1-5x+4x^{2} $ có 2 nghiệm phân biệt là $x=1;x=\frac{1}{4} $. Vậy trong trường hợp mẫu số của G(x) là phương trình bậc hai có nghiệm kép thì chúng ta làm như thế nào? Ví dụ sau đây sẽ giúp chúng ta xử lí tình huống đó:

Ví dụ 3

Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$ )với :\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =a_{1} =1} \\ {a_{n+2} =4a_{n+1} -4a_{n} } \end{array}\right. n\ge 0\]
Lời Giải
Đặt $G(x)$là hàm sinh cho dãy ($a_n$ ), chúng ta có:
$G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +... $
$-4xG(x)= -4a_{0} x-4a_{1} x^{2} -4a_{2} x^{3} -... $
$4x^{2} G(x)= 4a_{0} x^{2} +4a_{1} x^{3} +... $
Cộng ba đẳng thức trên ta có:
\[G(x)-4xG(x)+4x^{2} G(x)=a_{0} +(a_{1} -4a_{0} )x=1-3x \Leftrightarrow (1-4x+4x^{2} )G(x)=1-3x\]
Do đó $G(x)=\dfrac{1-3x}{1-4x+4x^{2} } =\dfrac{1-3x}{(1-2x)^{2} } =\dfrac{1}{1-2x} -\dfrac{x}{(1-2x)^{2} } $
\[=\sum _{n=1}^{\infty }(2x)^{n} -x\sum _{n=1}^{\infty }(2x)^{n-1} =\sum _{n=1}^{\infty }(2^{n} -n2^{n-1} )x^{n} \]
Hệ sô của $x^{n} $trong khai triển của $G(x)$là $2^{n} -n2^{n-1} $ nên $a_{n} =2^{n} -n2^{n-1} $,$n\ge 0$.
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng $a_{n} =2^{n} -n2^{n-1} $,$n\ge 0$.
Nhận xét: Trong ví dụ 2 và ví dụ 3 chúng ta thấy mẫu số của hàm sinh G(x) đều có nghiệm thực để chúng ta phân tích thành các nhân tử có dạng .
Câu hỏi đặt ra là “Nếu mẫu số của hàm sinh G(x) vô nghiệm thì chúng ta sẽ không có phân tích thành các nhân tử có dạng . Khi đó chúng ta phải giải quyết bài toán này như thế nào”. Đặt ra câu hỏi này, tôi đã dành thời gian suy nghĩ và tìm hiểu vì trong trường hợp phương trình đặc trưng của dãy số vô nghiệm thì nhìn chung chúng ta chỉ biết đến phương pháp giải phương trình sai phân là giải quyết được bài toán này thông qua số phức nhưng với hàm sinh thì sao?. Dựa vào ý tưởng số phức ở phương pháp sai phân tìm công thức tổng quát của dãy số thật thú vị là cũng vẫn với ý tưởng số phức, chúng ta áp dụng vào hàm sinh và thấy rằng hàm sinh cũng giải quyết tốt bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số trong trường hợp phương trình đặc trưng của dãy vô nghiệm.

Bài viết còn tiếp tục, mời bạn đọc theo dõi tiếp kì sau.

Người viết: Hoàng Minh Quân

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 23-03-2012 lúc 06:36 AM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 7 Users Say Thank You to batigoal For This Useful Post:
1110004 (24-06-2013), bboy114crew (23-03-2012), coban (25-03-2012), magician_14312 (22-03-2012), sang89 (23-03-2012), thinhptnk (24-03-2012), ThuyAnMyLove (22-03-2012)
 

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:24 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 135.08 k/138.46 k (2.45%)]