Các tính chất số học của hệ số nhị thức

[n.t.tuan]

Các bạn hãy c/m các t/c sau. Các bài tập sẽ được cung cấp sau.
1, $C_p^k $ chia hết cho p nếu 0<k<p.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dlt5]

Lời giải ở đây:[Only registered and activated users can see links. ]
Cho n=p là xong
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dlt5]

Từ bài ở:[Only registered and activated users can see links. ]
Xin viết lại kết quả $n\mid {C_n}^m.(m,n) $ với$m\leq n $
Ta có kết quả sau: n=p thì ở trên
n=md thì:$d\mid {C_{md}^m $
và nếu d=p nguyên tố thì ta có hệ quả $p^2\mid {C_{2p}^2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

1, $C_p^k $ chia hết cho p nếu 0<k<p.

Ta có phân số $C_p^k=\frac{p!}{k!(p-k)!} $ là một số nguyên có tử số chia hết cho p còn mẫu số thì không nên nó chia hết cho p ( p là số nguyên tố).

Tính chất khác:

2, Định lý tương ứng của Lucas.
Cho p là một số nguyên tố và n là một số nguyên dương với $n=(\overline{n_mn_{m-1}...n_0})_p $. Giả sử i là một số nguyên dương nhỏ hơn n, viết $i=i_0+i_1p+\cdots i_mp^m $, ở đó $0\leq i_0,...,i_m\leq p-1 $. Khi đó $C_n^i\equiv \prod_{j=0}^mC_{n_j}^{i_j}\pmod{p} $.

Các bạn post c/m vào topic này nhé! Đừng dẫn link.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

Các bạn hãy c/m các t/c sau. Các bài tập sẽ được cung cấp sau.
1, $C_p^k $ chia hết cho p nếu 0<k<p.

Nếu p không nguyên tố thì sai oài, admin ạ

$C^2_4\;\not\vdots \;4 $

Ps, Mới đổi màu chắc là nóa dễ nhìn hơn mọi người nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Thì cái chữ p là chỉ nguyên tố mà? Và lại anh đã dùng p nguyên tố để chứng minh mà? Chú post cái chứng minh của định lý Lucas đi nhá!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[psquang_pbc]

Thì cái chữ p là chỉ nguyên tố mà? Và lại anh đã dùng p nguyên tố để chứng minh mà? Chú post cái chứng minh của định lý Lucas đi nhá!

Em lỡ đọc mất rồi, giờ kô muốn làm lại. Dành cơ hội cho người khác
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[coe]

Anh Quang ơi cái biểu diễn n như thế kia có phải là qua cơ số p không anh? Mà anh đọc rồi thì anh cũng bỏ chút thời gian gõ cho chúng em xem với chứ ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Nó đúng là biểu diễn của n theo cơ số p

2, Định lý tương ứng của Lucas.
Cho p là một số nguyên tố và n là một số nguyên dương với $n=(\overline{n_mn_{m-1}...n_0})_p $. Giả sử i là một số nguyên dương nhỏ hơn n, viết $i=i_0+i_1p+\cdots i_mp^m $, ở đó $0\leq i_0,...,i_m\leq p-1 $. Khi đó $C_n^i\equiv \prod_{j=0}^mC_{n_j}^{i_j}\pmod{p} $.

Chứng minh.
Hai đa thức f,g với hệ số nguyên gọi là đồng dư theo modulo p nếu các hệ số của f-g là bội của p, khi đó ta kí hiệu $f(x)\equiv g(x)\pmod{p} $.

Ta có $(1+x)^n=(1+x)^{n_0}[(1+x)^p]^{n_1}\cdots[(1+x)^{p^m}]^{n_m}\equiv $

$ (1+x)^{n_0}(1+x^p)^{n_1}\cdots (1+x^{p^m})^{n_m}\pmod{p} $. Bây giờ chỉ cần chú ý đến hệ số của $x^i $ ở hai vế là xong!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[modular]

Với định lý Lucas các bạn có thể làm được cái bài tập sau
2-1, Cho p là số nguyên tố và $n=(\overline{n_mn_{m-1}...n_0})_p $ là biểu diễn cơ sở p của n. Khi đó
a)Có đúng $(n_m+1)...(n_0+1) $ số trong $C_n^0,...,C_n^n $ không chia hết cho p.
b)p chia hết mỗi số $C_n^1,...,C_n^{n-1} $ nếu và chỉ nếu $n=p^k $ với một số nguyên dương k nào đó.
c)p không chia hết mỗi số $C_n^0,...,C_n^n $ nếu và chỉ nếu $n=s.p^k-1 $ với một số nguyên dương k và một số nguyên dương s thỏa mãn s<p.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dlt5]

Các bạn post c/m vào topic này nhé! Đừng dẫn link.

ok,c/m bài toán:
$n\mid C_n^m .(m,n) $
theo bơ du: tôn tại $a,b\in Z: am+bn=(m,n) $
$\rightarrow C_n^m.(m,n)=\frac{n!}{m!(n-m)!}.bn+\frac{n!}{m!(n-m)!}.am $
lại có $am.\frac{n}{m!(n-m)!}=an.\frac{(n-1)!}{(m-1)![(n-1)-(m-1)]! $
$=an.C_{n-1}^{m-1} $
Ä‘pcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[adi]

lại có $am.\frac{n}{m!(n-m)!}=an.\frac{(n-1)!}{(m-1)![(n-1)-(m-1)]! $
$=an.C_{n-1}^{m-1} $
Ä‘pcm

Tại sao? Bạn viết rõ ra xem, mình không hiểu.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dlt5]

Ta có $n\mid an.C_{n-1}^{m-1} $ vì$C_{n-1}^{m-1} $là số nguyên
Còn $n\mid bn.C_n^m $
Đó bạn vậy là nó chia hết cho n:nemoflow:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[adi]

Mình muốn nói cái dấu = thứ nhất trong đoạn quote kia mà?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Mình muốn nói cái dấu = thứ nhất trong đoạn quote kia mà?

Cái đó là lỗi gõ nhỏ thôi, phân số bên trái có tử số là n! . Các bạn post lời giải của bài a1a đã post đi nhá!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]