BĐT ôn thi đại học

[kaichana]

Nguyên văn bởi nguyentrai_oly

5. Cho a,b,c>0 và abc=27. CMR:
$$\frac{1}{{\sqrt {1 + a} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + b} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + c} }} \le \frac{3}{2}$ $.
.................................................. ................
Bài này sai đề rồi
$a \to 0,b\rightarrow 0, c=\frac{27}{ab}\to \infty $.
------> VT > 3/2.
Mình sửa lại là: Cho a,b,c thỏa: abc = 1.
Khi đó thì CM:
$\frac{1}{\sqrt{a+1}} + \frac{1}{{\sqrt {1 + b} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + c} }} \le \frac{3}{\sqrt{2}} $.
Cái này dễ CM thôi, bạn tự làm tiếp!

dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=3 $. thế thì tại sao bạn sửa đề thế đc?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[caubemetoan96]

$4(\frac{1}{4a} +\frac{1}{4b} +\frac{1}{4b} +\frac{1}{4c} +\frac{1}{4c} +\frac{1}{4a} ) =2 (\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \le 2. \frac{9}{a+b+c} =\frac{18}{a+b+c} $
$\Rightarrow VT \ge VP $ (đpcm)

sai rồi. bi ngược dấu đấy
------------------------------

Nguyên văn bởi ruang0

$VT =\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} +\frac{9}{a+b+c} = \frac{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}) +9 }{a+b+c} \ge \frac{18}{a+b+c} $

$VP =4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}) \le 4(\frac{1}{4a} +\frac{1}{4b} +\frac{1}{4b} +\frac{1}{4c} +\frac{1}{4c} +\frac{1}{4a} ) =2 (\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \le 2. \frac{9}{a+b+c} =\frac{18}{a+b+c}
\Rightarrow VT \ge VP $ (đpcm)

phần VP áp dụng bđt $\frac{a^2}{x} +\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y} $

------------------------------
Bài 11: cũng có thể làm bằng cách áp dụng bđt $\frac{a^2}{x} +\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z} \ge \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} $
$\frac{a^2}{a+cb} +\frac{b^2}{b+ac} +\frac{c^2}{c+ab}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+ab+bc+ac}......... $

chẳng biết có ra không nữa....

ban lam sai roi
$VP =4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}) \le 4(\frac{1}{4a} +\frac{1}{4b} +\frac{1}{4b} +\frac{1}{4c} +\frac{1}{4c} +\frac{1}{4a} ) =2 (\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \le 2. \frac{9}{a+b+c} =\frac{18}{a+b+c}
\Rightarrow VT \ge VP $
bi nguoc dau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyentrai_oly]

Bài 5 đề chuẩn hơn là:với abc = 27.CMR:
$\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}+\frac{1} {\sqrt{c+1}}\geq \frac{3}{2} $
hơi [...] đấy!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptk_1411]

Nguyên văn bởi kaichana

4. Cho a, b, c >0 và ab+bc+ca=3. CMR:
$$\frac{a}{{2{a^2} + bc}} + \frac{b}{{2{b^2} + ca}} + \frac{c}{{2{c^2} + ab}} \ge abc$ $.

Đặt $a=\frac{1}{x}, b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z} $

Suy ra $x+y+z=3xyz, abc=\frac{1}{xyz} $

$\frac{a}{2a^2+bc}+\frac{b}{2b^2+ac}+\frac{c}{2c^2+ ab}=xyz(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{ 1}{z^2+2xy})\geq \frac{1}{xyz} $

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+ \frac{1}{z^2+2xy}\geq \frac{1}{x^2y^2z^2}=\frac{9}{(a+b+c)^2} $ (đúng theo bdt $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2}\geq \frac{9}{a+b+c} $)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tudo]

Nguyên văn bởi nguyentrai_oly

Bài 5 đề chuẩn hơn là:với abc = 27.CMR:
$\frac{1}{\sqrt{a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b+1}}+\frac{1} {\sqrt{c+1}}\geq \frac{3}{2} $
hơi [...] đấy!

1 hướng là pt tiếp tuyến
1 hướng là đặt ẩn phụ và quy đồng lên tí post

Bài 1. Cho a, b, c > 0. CMR: $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{9}{{a + b + c}} \ge 4\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)$ $.

Giải
Nghĩ dễ dàng nhận ra rằng nó 2 tổng của 2 BĐT ngược chiều nên 1 cách rất tự nhiên là phân tích SOS
BĐT$\Leftrightarrow \frac{9}{{a + b + c}} - (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \ge 4\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) - 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})\\ $

Để ý $\frac{9}{{a + b + c}} - (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = - \frac{{(a + b + c)(ab + bc + ca) - 9abc}}{{abc(a + b + c)}} = - \frac{{\sum\limits_{cyc} {a{{(b - c)}^2}} }}{{abc(a + b + c)}}\\ $(Cái này nhìn ngược lại dễ thấy đẳng thức hơn)
và $\frac{4}{{b + c}} - (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) = - \frac{{{{(b - c)}^2}}}{{bc(b + c)}}\\ $

BĐT$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {[\frac{{{{(b - c)}^2}}}{{bc(b + c)}} - \frac{{{{(b - c)}^2}}}{{bc(a + b + c)}}]} \ge 0\\ $
$\Leftrightarrow \sum\limits_{cyc} {{\rm{[}}\frac{{{{(b - c)}^2}}}{{bc}}} \frac{a}{{(a + b + c)(b + c)}}{\rm{]}} \ge 0 $.

Bài 3
$\frac{a}{{3{a^2} + 2{b^2} + {c^2}}} + \frac{b}{{3{b^2} + 2{c^2} + {a^2}}} + \frac{c}{{3{c^2} + 2{a^2} + {b^2}}} \le \frac{1}{6}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) $

AM-Gm ở dưới mẫu

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kaichana]

bạn nào giải được bài 2 chưa vậy?
------------------------------

Nguyên văn bởi ruang0

$VT =\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} +\frac{9}{a+b+c} = \frac{(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}) +9 }{a+b+c} \ge \frac{18}{a+b+c} $

$VP =4(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}) \le 4(\frac{1}{4a} +\frac{1}{4b} +\frac{1}{4b} +\frac{1}{4c} +\frac{1}{4c} +\frac{1}{4a} ) =2 (\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \le 2. \frac{9}{a+b+c} =\frac{18}{a+b+c}
\Rightarrow VT \ge VP $ (đpcm)

phần VP áp dụng bđt $\frac{a^2}{x} +\frac{b^2}{y} \ge \frac{(a+b)^2}{x+y} $

------------------------------
Bài 11: cũng có thể làm bằng cách áp dụng bđt $\frac{a^2}{x} +\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z} \ge \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} $
$\frac{a^2}{a+cb} +\frac{b^2}{b+ac} +\frac{c^2}{c+ab}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+ab+bc+ac}......... $

chẳng biết có ra không nữa....

bài này bạn giải sai rùi. $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}?$ $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[je.triste]

Nguyên văn bởi kaichana

bạn nào giải được bài 2 chưa vậy?
------------------------------


bài này bạn giải sai rùi. $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}?$ $

$(a+b+c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c} ) \ge 9\Rightarrow \frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} \ge \frac{9}{a+b+c} $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyentrai_oly]

Nguyên văn bởi kaichana

10. Cho x, y, z >0. CMR:
$$\frac{{{x^2}z}}{{xyz + {y^3}}} + \frac{{{y^2}x}}{{xyz + {z^3}}} + \frac{{{z^2}y}}{{xyz + {x^3}}} \ge \frac{1}{2}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}} \right)$ $

Ta đặt: $\frac{x}{y}=a;\frac{y}{z}=b;\frac{z}{x}=c $
Khi đó,
VT = $\frac{{{x^2}z}}{{xyz + {y^3}}} + \frac{{{y^2}x}}{{xyz + {z^3}}} + \frac{{{z^2}y}}{{xyz + {x^3}}}
=\frac{1}{\frac{y}{x}+\frac{y}{z}.\frac{y^{2}}{x^{ 2}}}+\frac{1}{\frac{z}{y}+\frac{z}{x}.\frac{z^{2}} {y^{2}}}+\frac{1}{\frac{x}{z}+\frac{x}{y}.\frac{x^ {2}}{z^{2}}}
=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{b}{a^{2}}}+\frac{1}{\f rac{1}{b}+\frac{c}{b^{2}}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\f rac{a}{c^{2}}}
=\frac{a^{2}}{a+b}+\frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{ c+a}
\geq \frac{1}{2}.(a+b+c) $
Đúng theo BĐT Cauchy-Schward. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a = b = c ,hay: x = y =z. $\square $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[je.triste]

$\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c} +\frac{9}{a+b+c} \ge 4(\frac{1}{a+b} +\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a} ) $
$\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c}) +9 \ge 4(a+b+c)(\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a} +\frac{1}{a+b}) $
$\Leftrightarrow 12 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 4 [ 3 + \frac{a}{b+c} +\frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} ] $
$\Leftrightarrow 12 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 12 +\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} +\frac{c}{a+b} $
$\Leftrightarrow \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} $
có $VP=4(\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}) =4( \frac{a^2}{a(b+c)} + \frac{b^2}{b(a+c)} + \frac{c^2}{c(a+b)} ) $
$= 4(\frac{ (\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}a)^2}{a(b+c)} + \frac{(\frac{1}{2} b + \frac{1}{2}b)^2}{b(a+c)} + \frac{\frac{1}{2}c +\frac{1}{2}c)^2}{c(a+b)} ) $
$\le 4 (\frac{a}{4b} + \frac{b}{4a} + \frac{c}{4a} +\frac{a}{4c} + \frac{b}{4c} + \frac{c}{4b}) = VT
\Rightarrow VT \ge VP $(đpcm)

$\frac{(\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}a)^2}{a(b+c)} \le \frac{\frac{1}{4}a^2}{ab} + \frac{\frac{1}{4}a^2}{ac} = \frac{a}{4b} + \frac{b}{4a} $

Sư phụ Võ Quốc Bá Cẩn..

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ptk_1411]

Nguyên văn bởi kaichana

3. Cho a, b, c >0. CMR: $P=$\frac{a}{{3{a^2} + 2{b^2} + {c^2}}} + \frac{b}{{3{b^2} + 2{c^2} + {a^2}}} + \frac{c}{{3{c^2} + 2{a^2} + {b^2}}} \le \frac{1}{6}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)$ $.

Áp dụng Cauchy 6 số: $a^2+a^2+a^2+b^2+b^2+c^2\geq 6\sqrt[6]{a^6b^4c^2}=6a\sqrt[6]{b^4c^2} $

Tương tự, suy ra: $P\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{\sqrt[6]{a^4b^2}}+\frac{1}{\sqrt[6]{b^4c^2}}+\frac{1}{\sqrt[6]{c^4a^2}}) $

$=\frac{1}{6}(\frac{1}{\sqrt[6]{a.a.a.a.b.b}}+\frac{1}{\sqrt[6]{b.b.b.b.c.c}}+\frac{1}{\sqrt[6]{c.c.c.c.a.a}}) $

$\leq \frac{1}{6^2}\left [ (\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{b})+(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{c}+ \frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+ \frac{1}{a})\right ] $

$=\frac{1}{6}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kaichana]

Nguyên văn bởi ptk_1411

Áp dụng Cauchy 6 số: $a^2+a^2+a^2+b^2+b^2+c^2\geq 6\sqrt[6]{a^6b^4c^2}=6a\sqrt[6]{b^4c^2} $

Tương tự, suy ra: $P\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{\sqrt[6]{a^4b^2}}+\frac{1}{\sqrt[6]{b^4c^2}}+\frac{1}{\sqrt[6]{c^4a^2}}) $

$=\frac{1}{6}(\frac{1}{\sqrt[6]{a.a.a.a.b.b}}+\frac{1}{\sqrt[6]{b.b.b.b.c.c}}+\frac{1}{\sqrt[6]{c.c.c.c.a.a}}) $

$\leq \frac{1}{6^2}\left [ (\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{b})+(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c})+(\frac{1}{c}+ \frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+ \frac{1}{a})\right ] $

$=\frac{1}{6}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) $

bạn làm bài này dài quá. tớ có cách khác đây:
$$\frac{a}{{({a^2} + {c^2}) + 2({a^2} + {b^2})}} \le \frac{a}{{2ac + 4ab}} = \frac{1}{{2c + 2b + 2b}} \le \frac{1}{9}(\frac{1}{{2c}} + \frac{1}{b})$ $
Tương tự cộng 2 BĐT còn lại suy ra đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]