Đề thi olympic 30/4 lớp 10 năm 2010

[trungthu10t]

Nguyên văn bởi newbie

Bạn cần bài nào ? 2 hay 5 ?

Mình cần cả 2 bài ,vì 2 bài bạn giải tắt quá,mình không hiểu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[xin007]

Nguyên văn bởi newbie

Cách này chắc ngắn hơn .Giờ mới để ý .Có lẽ đây là offical solution =.=
Gọi $q_i $ là ước số nguyên tố nhỏ nhất nhất của $a_i $
Do $a_i $ là hợp số nên :$a_i \ge q_i^2 $
Ta có $q_1,...,q_n $ phân biệt .(Do $(a_i;a_j)=1 ( i \ne j) $)
$\Rightarrow max(a_i) \ge max(q_i^2) \ge p_n^2 $
Với $p_n $ là số nguyên tố thứ $n $
$\Rightarrow p_n^2 \le (2n+5)^2 $
Suy ra được ngay $n=9 $ .Chán

Bài 5 thực ra là 1 bài toán tiểu học nhưng mình không nhớ rõ cách giải tiểu học cho lắm .Giải vầy là theo kiểu trung học .
Đặt :$x_k $ là số huy chương còn lại sau ngày thứ $k $
Ta có :$x_n=0;x_0=xx_{k}= x_{k-1}-k- \frac{x_{k-1}-k}{10} $
Đến đây dễ suy ra :
$10^n(n-9)=(x-81).9^{n-1} $
$\rightarrow 9^{n-1} | n-9 $
Đến đây là xong rồi $\Rightarrow n=9;x=81 $

bài 2( cùng ý tưởng rùi từ $ p_n^2 \le (2n+5)^2 $
dùng quy nạp Cm được $n\ge10 $ không thỏa mãn
do đó n=9
vd: {$ 2^2,3^2,5^2,7^2,11^2,13^217^2,19^2,23^2 $}
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[beyondinfinity]

Nguyên văn bởi khanhsy

Cho $a,b,c> 0\ \ a+b+c+2=abc $,Chứng minh rằng:

$a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2+2(a+b+c) $

Thay $a=\frac{y+z}{x} $, tương ứng cho $b,c $.
Biến đổi tương đương bddt được:
$2\sum{\frac{y+z}{x^2}}\leq \sum{\frac{(y+z)^2}{x^3}} $
Chỉ cần cm:
$\sum{\frac{y+z}{x^2}}\ge 2\sum{\frac{1}{x}} $
(xài chebyshev)
sau đó ta có:
$\frac{4}{x}+\frac{(y+z)^2}{x^3}\ge \frac{4(y+z)}{x^2} $
là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]