Vài bài bất đẳng thưc

[tangkhaihanh]

Bài 1: Cho a; b; c>0. CMR : $ 289(a^3+64b^3+c^3) \ge 64(a+b+c)^3 $
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. CMR :
$ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} \ge (a+b)(b+c)(c+a)-5 $
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. CMR
$\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}} + \frac{1}{\sqrt{b^3+2c^3+6}} + \frac{1}{\sqrt{c^3+2a^3+6}} \le 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[manhnguyen94]

Bài 2 là đề THTT số mới đây
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tangkhaihanh]

Vậy hả. Mình không biết. Còn đây là bài tập về nhà của minh mà. Mình đang cần gấp lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Unknowing]

Nguyên văn bởi tangkhaihanh

Bài 1: Cho a; b; c>0. CMR : $289(a^3+b^3+c^3) \ge 64(a+b+c)^3. $
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. CMR :
$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c} \ge (a+b)(b+c)(c+a)-5 $
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. CMR
$ \frac{1}{\sqrt{a^2+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+2c^ 3+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+2a^3+6}} \le 1 $

Câu 2
ta có hằng đẳng thức sau
$\left ( a+b+c \right )^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a) $
vậy suy ra
$
VP=(a+b)(b+c)(c+a)-5=\frac{\left ( a+b+c)^{3}-(a^{3}+b^{3} +c^{3}\right )}{3}-5=\frac{27-(a^{3}+b^{3}+c^{3})-3\times 5}{3}=\frac{12-(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{3} $
vậy đccm
$ \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq \frac{12-(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{3} $
$3 \sqrt[3]{a}+3\sqrt[3]{b}+3\sqrt[3]{c}+a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq12 $
để dể hình dung
đặt $ \sqrt[3]{a}=x,\sqrt[3]{b}=y,\sqrt[3]{c}=z $
suy ra $a=x^{3} ,y=b^{3},z=c^{3} $
và $ a^{3}=x^{9} ,y^{3}=b^{9},z^{3}=c^{9} $
ta có $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 $
đccm
$ \Leftrightarrow \sum 3x+x^{9}\geq 12 $
$ \Leftrightarrow \sum (x+x+x+x^{9})\geq\sum 4\sqrt[4]{(x^{3})^{4}}=4(\sum x^{3})=4.3=12 $
đccm
dấu "=" xãy ra a=b=c=1
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Unknowing]

Nguyên văn bởi magic.

Câu 1 sai đề.

vậy cậu sửa đề lại xem,chứ câu 1 mình cũng tính sữ dụng hằng đẳng thức trên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tangkhaihanh]

Xin lỗi mình lại viết sai đề. Mình sửa lại rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magic.]

Nguyên văn bởi tangkhaihanh

Bài 1: Cho a; b; c>0. CMR : $289(a^3+64b^3+c^3) \ge 64(a+b+c)^3. $

Áp dụng BĐT $Holder $ ta có:
$ 289(a^3+64b^3+c^3) (1+ \frac{1}{8}+1)(1+ \frac{1}{8}+1) \ge 289 (a+b+c)^3 $
Suy ra đpcm.

Sửa lại luôn cái tiêu đề đi

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tangkhaihanh]

Nguyên văn bởi Unknowing

vậy cậu sửa đề lại xem,chứ câu 1 mình cũng tính sữ dụng hằng đẳng thức trên

Sử dụng được không vậy?Dấu băng xảy ra khi và chỉ khi $a=c=\frac{24}{17}; b=\frac{3}{17} $
------------------------------

Nguyên văn bởi magic.

Áp dụng BĐT $Holder $ ta có:
$ 289(a^3+64b^3+c^3) (1+ \frac{1}{8}+1)(1+ \frac{1}{8}+1) \ge 289 (a+b+c)^3 $
Suy ra đpcm.

Sửa lại luôn cái tiêu đề đi

Sử dụng Cauchy dược không. Bất đẳng thức Holder mình chưa học
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[manhnguyen94]

Câu 3: áp dụng BDT BCS và AG _GM , ta có:
$VT^2 \leq 3\left ( \sum \frac{1}{a^3+2b^3+6} \right )\leq \sum \frac{1}{ab^2+2} $
lại có
$\frac{1}{ab^2+2}=\frac{1}{\frac{b}{c}+2}=\frac{2c} {b+2c} $
Và lại theo BCS, dễ C/m:
$\sum \frac{b}{b+2c}\geq 1 $
Từ đây ta có được điều phải c/m
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[abacadaeafag]

Nguyên văn bởi manhnguyen94

Câu 3: áp dụng BDT BCS và AG _GM , ta có:
$VT^2 \leq 3\left ( \sum \frac{1}{a^3+b^3+6} \right )\leq \sum \frac{1}{ab^2+2} $
lại có
$\frac{1}{ab^2+2}=\frac{1}{\frac{b}{c}+2}=\frac{2c} {b+2c} $
Và lại theo BCS, dễ C/m:
$\sum \frac{b}{b+2c}\geq 1 $
Từ đây ta có được điều phải c/m

Coi kĩ lại đề đi bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tangkhaihanh]

Bài 1 sử dụng AM-GM như thế nào vậy?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[manhnguyen94]

Nguyên văn bởi abacadaeafag

Coi kĩ lại đề đi bạn

Là sao, mình sai ở đâu
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[abacadaeafag]

Nguyên văn bởi manhnguyen94

Là sao, mình sai ở đâu

Đề là $\sum \frac{1}{\sqrt{a^{2}+2b^{3}+6}} $ chứ ko phải là $\sum \frac{1}{\sqrt{a^{3}+2b^{3}+6}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tangkhaihanh]

Bài 3 :
AM-GM $\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}} = \frac{1}{\sqrt{(a^3+b^3+b^3)+6}} \le \frac{1}{sqrt{3ab^2+6}} $
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{3b}{c}+3+3}} \le \frac{1}{\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{3b}{c}.3.3}}}=\frac{1}{3}.\sqrt[6]{\frac{c}{b}} $
Tương tự nhưng cái tiếp teo công vào rồi Cauchy 3 số nữa là ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[abacadaeafag]

Nguyên văn bởi tangkhaihanh

Bài 3 :
AM-GM $\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}} = \frac{1}{\sqrt{(a^3+b^3+b^3)+6}} \le \frac{1}{sqrt{3ab^2+6}} $
$= \frac{1}{\sqrt{\frac{3b}{c}+3+3}} \le \frac{1}{\sqrt{3\sqrt[3]{\frac{3b}{c}.3.3}}}=\frac{1}{3}.\sqrt[6]{\frac{c}{b}} $
Tương tự nhưng cái tiếp teo công vào rồi Cauchy 3 số nữa là ra

Thêm 1 người nữa lộn đề

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]