Một số bài lượng giác hay

[tudo]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Như thế là quá phức tạp với 1 bài toán lượng giác sơ cấp
------------------------------
14.Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
$1+\sin^2 {ax}=\cos x $

$
VT \geq 1; VP \le 1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

15.Cho tam giác ABC có 2 góc nhọn A,B thỏa:
$\tan^2 {A}+\tan^2 {B}=2\tan^2 {\frac{A+B}{2}} $
Chứng minh tam giác này cân
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[HBM]

Chắc hẳn mọi người đều biết những bổ đề lượng giác sau:
$\forall \triangle ABC $
$T_1=\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+ \sin \frac{C}{2} \le \frac{3}{2} $

$T_2=\cos A+\cos B+\cos C \le \frac{3}{2} $

$T_3=\sin A +\sin B +\sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2} $

$T_4=\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2} \le \frac{3\sqrt{3}}{2} $

Mọi người hãy post những cách giải mà mọi người tâm đắc lên nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi minhdeptrai26

Chắc hẳn mọi người đều biết những bổ đề lượng giác sau:
$\forall \triangle ABC $
$T_1=\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+ \sin \frac{C}{2} \le \frac{3}{2} $

$T_2=\cos A+\cos B+\cos C \le \frac{3}{2} $

$T_3=\sin A +\sin B +\sin C \le \frac{3\sqrt{3}}{2} $

$T_4=\cos \frac{A}{2}+\cos \frac{B}{2}+\cos \frac{C}{2} \le \frac{3\sqrt{3}}{2} $

Mọi người hãy post những cách giải mà mọi người tâm đắc lên nhé

Thêm nữa nè:
$\sin {\frac{A}{2}} \leq \frac{a}{2\sqrt {bc}} $
$\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2} }\leq \frac{1}{8} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[G-Dragon]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

15.Cho tam giác ABC có 2 góc nhọn A,B thỏa:
$\tan^2 {A}+\tan^2 {B}=2\tan^2 {\frac{A+B}{2}} $
Chứng minh tam giác này cân

ta có: $\cos A \cos B \le \frac{1}{4}(\cos A+\cos B)^2=\bigg(\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}\bigg)^2 \le \bigg(\cos\frac{A+B}{2}\bigg)^2 $

như vậy $\frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B} \ge \frac{2\sin\frac{A+B}{2}}{\cos\frac{A+B}{2}} $ vì tử luôn dương, cho nên $\tan A+\tan B \ge 2\tan \frac{A+B}{2} $
từ đó ta có:
$\tan^2 {A}+\tan^2 {B} \ge \frac{(\tan A+\tan B)^2}{2} \ge \frac{\bigg(2\tan \frac{A+B}{2}\bigg)^2}{2}=\tan^2 {\frac{A+B}{2}} $
điều phải chứng minh.
------------------------------

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Thêm nữa nè:
$\sin {\frac{A}{2}} \leq \frac{a}{2\sqrt {bc}} $
$\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2} }\leq \frac{1}{8} $

em thử chứng minh cái này, có phải thế này không ạ:
sử dụng định lí cos ta có:
$VT=\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2}}=\sqrt{\frac{a^2+2bc-b^2-c^2}{4bc}}=\sqrt{\frac{a^2-(b-c)^2}{4bc}} \le \sqrt{\frac{a^2}{4bc}}=VP $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Cám ơn bạn
16.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
$y= \sin {\frac{2x}{1+x^2}}+ \cos {\frac{4x}{1+x^2}}+1 $
------------------------------
Để chứng minh các bất đẳng thức tổng trên thì có nhiều cách khác nhau,ở đây mình muốn trình bày về định lí Jensen
Cho $f $ xác định trên D và thỏa:
$f(x_1)+f(x_2)\geq 2 f(\frac{x_1 + x_2}{2}) $,với mọi $x_1,x_2 \in D $
Chứng minh:
$f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)\geq n f(\frac{x_1 + x_2 +...+x_n}{n}) $
với mọi $x_i \in D,i=1,2,...,n $
Tương tự ta có kết quả trên đối với trường hợp $\leq $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[G-Dragon]

Bài 1:Cho $x_1,x_2,...,x_{13} $ là $13 $ số thực phân biệt. Chứng minh rằng :
tồn tại $2 $ số $x_i $ và $x_j $ sao cho $0<\frac{x_i-x_j}{1+x_jx_i}<2-\sqrt{3} $

Bài 2:Cho $x,y,z $ là $3 $ số thực bất kì. Chứng minh rằng:

$\frac{|x-y|}{\sqrt{1+x^2}.\sqrt{1+y^2}}+\frac{|y-z|}{\sqrt{1+y^2}.\sqrt{1+z^2}} \ge \frac{|z-x|}{\sqrt{1+z^2}.\sqrt{1+x^2}} $

Bài 3:Cho $x+y+z=xyz $. Chứng minh rằng:
$x(y^2-1)(z^2-1)+y(x^2-1)(z^2-1)+z(x^2-1)(y^2-1)=4xyz $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi G-Dragon

Cho $x_1,x_2,...,x_{13} $ là $13 $ số thực phân biệt. Chứng minh rằng :
tồn tại $2 $ số $x_i $ và $x_j $ sao cho $0<\frac{x_i-x_j}{1+x_jx_i}<2-\sqrt{3} $

Đặt $x_i=\tan a,x_j=\tan b $ với a,b thỏa mãn $a,b,a-b \neq \frac{\pi}{2}+k\pi $
Trở thành:
$0<\tan (a-b) < \tan {\frac{\pi}{12}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[HBM]

Nguyên văn bởi G-Dragon

Bài 1:Cho $x_1,x_2,...,x_{13} $ là $13 $ số thực phân biệt. Chứng minh rằng :
tồn tại $2 $ số $x_i $ và $x_j $ sao cho $0<\frac{x_i-x_j}{1+x_jx_i}<2-\sqrt{3} $

Bài 2:Cho $x,y,z $ là $3 $ số thực bất kì. Chứng minh rằng:

$\frac{|x-y|}{\sqrt{1+x^2}.\sqrt{1+y^2}}+\frac{|y-z|}{\sqrt{1+y^2}.\sqrt{1+z^2}} \ge \frac{|z-x|}{\sqrt{1+z^2}.\sqrt{1+x^2}} $

Bài 3:Cho $x+y+z=xyz $. Chứng minh rằng:
$x(y^2-1)(z^2-1)+y(x^2-1)(z^2-1)+z(x^2-1)(y^2-1)=4xyz $

Bài 1: đặt như a Khoa rồi xài nguyên lý Dirichle . Bài 3 đặt $x= \tan a ; y= \tan b ;z= \tan c $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi G-Dragon

Bài 1:Cho $x_1,x_2,...,x_{13} $ là $13 $ số thực phân biệt. Chứng minh rằng :
tồn tại $2 $ số $x_i $ và $x_j $ sao cho $0<\frac{x_i-x_j}{1+x_jx_i}<2-\sqrt{3} $

Bài 2:Cho $x,y,z $ là $3 $ số thực bất kì. Chứng minh rằng:

$\frac{|x-y|}{\sqrt{1+x^2}.\sqrt{1+y^2}}+\frac{|y-z|}{\sqrt{1+y^2}.\sqrt{1+z^2}} \ge \frac{|z-x|}{\sqrt{1+z^2}.\sqrt{1+x^2}} $

Bài 3:Cho $x+y+z=xyz $. Chứng minh rằng:
$x(y^2-1)(z^2-1)+y(x^2-1)(z^2-1)+z(x^2-1)(y^2-1)=4xyz $

Bài 2:
Đặt $x=\tan a,y=\tan b,z=\tan c $ rồi sử dụng $|A|+|B|\geq |A+B| $
PS:Minh làm thử bài 2 ở trang 1 xem,chưa thấy ai làm cả
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[G-Dragon]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Đặt $x_i=\tan a,x_j=\tan b $ với a,b thỏa mãn $a,b,a-b \neq \frac{\pi}{2}+k\pi $
Trở thành:
$0<\tan (a-b) < \tan {\frac{\pi}{12}} $

Anh làm rõ cái Diricle được không ạ, em chưa hiểu lắm còn bài này nữa ạ:
Trong $4 $ số dương $a_1,a_2,a_3,a_4 $ luôn tìm được 2 số $a_i,a_j $ sao cho:
$0 \le \frac{a_j-a_i}{1+a_i+a_j+2a_ia_j} <2-\sqrt{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thanhtungkid]

2.$\sin x -\sin 2x -\sin 3x =2\sqrt 2 $

Biến đổi tương đương, ta có
$-\sin 2x-2\cos 2x\sin x=2\sqrt{2} $
$\sin x(\cos 2x+\cos x)=-\sqrt{2} $
$\sin x(2\cos ^2x+\cos x -1)=-\sqrt{2} $
+)Nếu $2\cos ^2x+\cos x -1>0 $ thì $VT\geq-1>-\sqrt{2} $
+)Nếu $2\cos ^2x+\cos x -1\leq0 $ thì
Ta có $2\cos ^2x+\cos x -1\geq -\frac{9}{8} $ và $\sin x\leq 1 $ nên
$\sin x(2\cos ^2x+\cos x -1)\geq -\frac{9}{8}>-\sqrt{2} $
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
@ anhkhoavo2010: Bài 16 của bạn mình cũng làm ra rồi, nhưng kết quả GTNN không đẹp cho lắm!
Đặt $t=\frac{2x}{x^2+1} $ ĐK:$-1\leq t\leq 1 $
Xét hàm số $f(t)=\sin t+\cos 2t+1=-2\sin^2 t+\sin t+2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi G-Dragon

Anh làm rõ cái Diricle được không ạ, em chưa hiểu lắm còn bài này nữa ạ:
Trong $4 $ số dương $a_1,a_2,a_3,a_4 $ luôn tìm được 2 số $a_i,a_j $ sao cho:
$0 \le \frac{a_j-a_i}{1+a_i+a_j+2a_ia_j} <2-\sqrt{3} $

Bài đó giải cụ thể thế này:

Đặt $x_i = \tan a_i $ và $0 \le a_i < \pi $.
Do có 13 số $a_i $ như thế chia nửa khoảng $[0, \pi) $ ra thành 12 miền nên nên tồn tại hai số $i, j $ mà $|a_i - a_j| < \frac{\pi}{12} $.
Khi đó $\tan (x_i-x_j) < \tan \frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3} $.
So sánh hai số $a_i, a_j $ để được $\tan (x_i-x_j) > 0 $ nữa là xong.

Bài em hỏi hình như có trong cuốn Tuyển tập 10 năm đề Olympic 30-4 thì phải. Anh cũng không nhớ giải theo hướng nào nhưng chắc là cũng đặt $x_i = \tan a_i $ rồi xét trong $[0, \pi) $
để suy ra có hai số $a_i, a_j $ mà $|a_i - a_j| < \frac{\pi}{3} $.


Ủng hộ một bài về HPT lượng giác vừa mới chế xong!
Bài 17. Cho hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} y = \dfrac{x^2}{2} + 1\\ (x - \dfrac{x^2 + y - 1}{y-1})^2 = \dfrac{1}{x} \end{matrix}\right. $

Gọi $(x,y) $ là một nghiệm của HPT thỏa $|x| < 1 $.
Chứng minh rằng:

$y - 2x = \cos \frac{2 \pi}{9} $

Gửi các bạn một số chuyên đề lượng giác cũng khá hay.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magician_14312]

Ta có $y-2x=\frac{1}{2}(x-2)^2+1 $.
Từ giả thiết thứ 2 ta có $(x-3)^2=\frac{1}{x} $
hay $x^3-6x^2+9x-1=0 $
$\Leftrightarrow (x-2)^3-3(x-2)+1=0 $
Đặt $x-2=2\cos a $. Vì $\left | x \right |<1 $ nên $\cos a<-\frac{1}{2} $.
Ta có phương trình $8\cos ^3a-6\cos a+1=0 $
hay $2(4\cos ^3a-3\cos a)+1=0 $ suy ra $\cos 3a=-\frac{1}{2} $
Từ đây ta suy ra các họ nghiệm
$a=\frac{2\pi}{9}+k2\pi;a=\frac{8\pi}{9}+k2\pi;a= \frac{14\pi}{9}+k2\pi $ với $k\in \mathbb{Z} $
Vì $\cos a<-\frac{1}{2} $ nên ta lấy giá trị $a=\frac{8\pi}{9} $, suy ra $x-2=2\cos \frac{8\pi}{9} $
Từ đó có $y-2x=2\cos^2 \frac{8\pi}{9}-1=2\cos^2 \frac{\pi}{9}-1=\cos \frac{2\pi}{9} $(đpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quanhi]

Nguyên văn bởi thanhtungkid

Ta có:
$f(x)=\sin x \cos m+\cos x\sin m+\sin x \cos 2m+\cos x\sin 2m+\sin x+a $
$f(x)=\sin x(\cos m+\cos 2m+1)+\cos x(\sin m+\sin 2m)+a $
Để $f(x) $ không phụ thuộc vào biến $x $ thì
$\cos m+\cos 2m+1=0 (1) $ và $\sin m+\sin 2m=0 (2) $.
Giải $(2) $ ta có $m=\pi+k2\pi $ (loại vì không thỏa mãn $(1) $)
hoặc $m=k\frac{2\pi}{3} $ với $k\in \mathbb{Z} $.
+)Nếu $k=3h $ với $h\in \mathbb{Z} $ thì $m $ không thỏa mãn $(1) $
+)Nếu $k=3h+1 $ hoặc $k=3h+2 $ thì $m $ thỏa mãn $(1) $
Kết luận: $m=\frac{2\pi}{3}+h2\pi $ và $m=\frac{4\pi}{3}+h2\pi $ với $h\in \mathbb{Z} $.

Giải (2) bằng cách nào vậy anh. Chỉ em với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]