Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope

  Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học > Chuyên Đề

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


 
04-12-2011, 10:54 PM   #1
n.v.thanh
Moderator
 
 
: Nov 2009
: 2,849
: 2,980
Icon1 Xung quanh bài toán hình học trong kì thi IMO 2011

Chắc hẳn mọi người đã biết đến bài toán số 6 trong kì IMO năm vừa qua. Bài toán hình học duy nhất của cả kì thi, nó được phải biểu như sau

:
Cho tam giác $ABC $ nhọn nội tiếp đường tròn $\mathcal T $, $\ell $ là một tiếp tuyển bất kì của đường tròn ngoại tiếp. Gọi $ \ell_{a},\ell_{b},\ell_{c} $ là 3 đường thẳng tương ứngđối xứng với $\ell $ qua ba cạnh $BC,CA,AB $. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi ba đường thẳng $\ell_{a},\ell_{b},\ell_{c} $ tiếp xúc với $(\mathcal T) $
Thầy dạy hình của mình đã nhận xét rằng :" Kỳ lạ là từ trước đến giờ hình học của tam giác đã được nghiên cứu gần như đến cùng rồi mà lại sót lại một viên ngọc còn hoang sơ chưa ai biết đến để làm đề IMO như vậy, đúng là không gì là không thể trong hình học! " .
Và tất nhiên nó ngay lập tức bị tấn công theo nhiều hướng.Mọi người có thể xem lời giải cũng như bình luận về bài toán tại [Only registered and activated users can see links. ].
Hoặc xem lời giải chính thức trong file đính kèm [Only registered and activated users can see links. ] .


Theo mình thấy thì có lẽ bài này được xây dựng từ một bài hình trong kì thi toán của Iran (sau khi đọc comment của Naoki Sato trên MathLinks). Với nội dung khá gần, mà chính bài Iran này cũng là một bổ đề đề giải bài toán này.
:
Cho tam giác nhọn ABC và một đường thẳng bất kì $\ell $ .Dựng các đường thẳng đối xứng với $\ell $qua các cạnh $BC,CA,AB $. Chúng cắt nhau tạo thành tam giác $A'B'C' $. Chứng minh rằng đường tròn nội tiếp tam giác $A'B'C' $ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC $.


Với một bài toán hình học như vầy, ngay sau khi,thậm chí trước khi giải chúng đã có những người đưa ra mở rộng của nó.Dưới đây là một số mở rộng của bài toán này.

Mở rộng 1 (T. Trần Quang Hùng)
:
Cho tam giác $ABC $ và một điểm $P $. Một đường thẳng bất kì qua P cắt $(PBC),(PCA),(PAB) $ một lần nữa tại $P_a,P_b,P_c $. Gọi $\ell_a,\ell_b,\ell_c $là các tiếp tuyến của $(PBC),(PCA),(PAB) $ tương ứng tại $P_a,P_b,P_c $. Chứng minh rằng tam giác tạo bởi $\ell_a,\ell_b,\ell_c $ tiếp xúc với đường tròn $(ABC) $.
Chú ý khi $P\equiv H $ thì ta được bài IMO.
.

Mở rộng 2 (Nguyễn Văn Linh)
:
Cho tam giác $ABC $ nội tiếp $(O) $. Một đường tròn $(O') $ tiếp xúc với $(O) $. $P $ là điểm bất kì trên $(O) $. $PA,PB,PC $ cắt $(O') $ tại $A_1,B_1,C_1. $ Gọi $A_2B_2C_2 $ là tam giác tạo bởi ba đường thẳng đối xứng với $A_1B_1 $ qua $AB $, $B_1C_1 $ qua $BC $ và $C_1A_1 $ qua $CA $. Chứng minh rằng $(A_2B_2C_2) $ tiếp xúc với $(ABC) $
Chú ý, Cho $P $ trùng với $I $ và tiếp tục cho $A_1,B_1,C_1 $ trùng với I ta mới được bài toán IMO
Mở rộng 3 (oneplusone MathLinks)
:
Tam giác ABC và XYZ là hai tam giác với chung đường tròn ngoại tiếp. Đường thằng $\ell_{xa},\ell_{xb},\ell_{xc} $ là ba đường thẳng đối xứng với YZ qua BC,CA,AB. $\mathcal T_x $ là đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi $\ell_{xa},\ell_{xb},\ell_{xc} $. Tương tự xác định $\mathcal T_y,\mathcal T_z $ .Chứng tỏ rằng $\mathcal T_x, \mathcal T_y,\mathcal T_z $ cùng đi qua một điểm chung.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
imo2011pro6.jpg (47.5 , )
2011_imo_final6.pdf (150.1 , )
 
asdfghj (05-12-2011), batigoal (04-12-2011), hizact (04-12-2011), hoanghung (05-12-2011), Lan Phuog (04-12-2011), nguyenquocthuy (13-07-2012), nhox12764 (05-12-2011), nho_ngOx (05-12-2011), OnVMO (04-12-2011), soros_fighter (04-12-2011), thephuong (05-12-2011)
04-12-2011, 11:02 PM   #2
n.v.thanh
Moderator
 
 
: Nov 2009
: 2,849
: 2,980
Cả ba mở rộng đều được anh Nguyễn Văn Linh viết trong blog của mình kèm theo lời giải của mở rộng 1 và 3. (LTL) [Only registered and activated users can see links. ]. Riêng mở rộng thứ hai được ảnh ý cất kĩ hơn, để dành cho tới kì Mathley Round 3 diễn ra tháng 11 vừa rồi. Mọi người có thể xem đề bài và lời giải trong file đính kèm (Bài 4).

Thực sự phải nói mở rộng hai quá đẹp đẽ, sự đối ngẫu giữa các yếu tố trong hình vẽ từ cách phát biểu đến trong lời giải giải. Trong đáp án kì mathley này có hai cách giải, một cách của tác giả,cách thứ hai được gửi bởi bạn Trần Đăng Phúc,11 Toán KHTN, sử dụng một bổ đề và biến đổi góc thuần túy.Sau đây mình xin giới thiệu một lời giải khác của bài 4,mathley round 3,tháng 11 vừa rồi .

Đề bài
:
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Một đường tròn (O') tiếp xúc với (O). P là điểm bất kì trên (O). PA,PB,PC cắt (O') tại $A_1,B_1,C_1 $. Gọi $A_2B_2C_2 $ là tam giác tạo bởi ba đường thẳng đối xứng với $A_1B_1 $ qua AB, $B_1C_1 $ qua BC và $C_1A_1 $ qua CA. Chứng minh rằng $(A_2B_2C_2) $ tiếp xúc với (ABC)
Bổ đề
:
Tam giác ABC và tam giác $A_1B_1C_1 $ nằm trên mặt phẳng sao cho $AA_1,BB_1,CC_1 $ đồng quy tại điểm P . $A_2B_2C_2 $ là tam giác tạo bởi các đường thẳng đối xứng với $A_1B_1 $ qua AB, $B_1C_1 $ qua BC,$C_1A_1 $ qua CA. Khi đó $AA_2, BB_2, CC_2 $ cũng đồng quy tại một điểm Q, và P nằm trên (ABC) khi và chỉ khi Q cũng nằm trên (ABC).
Chứng minh bổ đề


Quay lại bài toán mở rộng 2.
1. Gọi $A_3,B_3,C_3 $ là giao của $ IA_1,IB_1,IC_1 $ với $(ABC) $. Khi đó $I $ là tâm vị tự biến $(A_1B_1C_1) $ thành $(A_3B_3C_3) $.
Gọi $A_4,B_4,C_4 $ là các điểm trên (O) sao cho A là trung điểm cung $A_3A_4 $,B là trung điểm cung $B_3B_4 $,C là trung điểm cung $C_3C_4. $

2. Gọi X là giao của $BC_{4} $ và $CB_{4} $ .Khi đó $X $ là điểm đối xứng của $X' $ - giao điểm của $BC_{3} $ và $CB_{3} $

Áp dụng định lý Pascal cho lục giác $IB_{4}C_{4}B_3C_3P $ ta có $B_{1},X',C_{1} $ thẳng hàng. Mà $B_{1}C_{1} $ đối xứng nhau qua $BC $ nên $X $ nằm trên $B_{2}C_{2} $ .

Gọi T là giao điểm của $B_{2}B_{4} $ với $(ABC) $ .Áp dụng định lý Pascal cho lục giác $TB_4C_4BCQ $ ta có $T,C_{2},C_{4} $ thẳng hàng. Do đó $A_{2}A_{4},B_{2}B_{4},C_{2}C_{4} $ đồng quy tại T nằm trên (O)

3.Mặt khác do (O) và(O') tiếp xúc nhau tại I nên $A_1B_1C_1 $ và $A_3B_3C_3 $ là ảnh của nhau qua phép vị tự tâm I, chúng có cách cạnh song song với nhau

Xét góc modulo $180^{o} $ thì $(B_{1}C_{1},B_{2}C_{2})=2(B_{1}C_{1},BC)=2(B_{3}C_ {3},BC) $ và $B_{1}C_{1},B_{4}C_{4})=B_{3}C_{3},B_{4}C_{4}) $
Sử dụng B,C là trung điểm cung $B_{3}B_{4} $ và $C_{3}C_{4} $ ta dễ dàng chỉ ra được rằng $(B_{1}C_{1},B_{2}C_{2})= B_{1}C_{1},B_{4}C_{4}) $

4. Suy ra hai tam giác $A_{2}B_{2}C_{2},A_{4}B_{4}C_{4} $ có các cạnh tương ứng song song.Từ đó T là tâm vị tự biến tam giác $A_{2}B_{2}C_{2} $ thành tam giác $A_{4}B_{4}C_{4} $.Suy ra phép vị tự tâm T biến $(A_4B_4C_4) $ thành $(A_{2}B_{2}C_{2}) $. Suy ra ngay $(A_2B_2C_2) $ tiếp xúc với $(ABC) $ tại $T $.Chứng minh kết thúc.

Phép chứng minh rất đẹp trên là động lực để mình gõ bài viết này. Nhìn lại mình vẫn thấy nó quá đẹp. $AA_1,BB_1,CC_1 $ đồng quy tại P nằm trên (O), $AA_2,BB_2,CC_2 $ cũng đồng quy tại Q trên (O). $(A_1B_1C_1) $ tiếp xúc với $(A_3B_3C_3) $ tại tâm vị tự biến hai tam giác có các cạnh song song thành nhau. Hai tam giác $A_2B_2C_2 $ và $A_4B_4C_4. $ !!!

Sau đây là một số kết quả thú vị khác xung quanh bài toán Mathley này.Do anh Linh đề xuất, mọi người cùng thử sức nhé
:
KQ 1
Với cấu hình như bổ đề để giải bài toán trên.Chứng minh rằng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2 $ cũng đồng quy tại Kiểm $R $ nằm trên chính đường thẳng $PQ $
KQ 2.
Ba đường $d_1, d_2, d_3 $ bất kì trên mặt phẳng cắt nhau tạo tam giác $A_1B_1C_1 $. Đối xứng với d_1 qua BC , CA, AB cắt nhau tạo $A_2B_2C_2 $. Khi đó $AA_2, BB_2, CC_2 $ đồng quy tại X. Tương tự có Y, Z. Khi đó XYZ nội tiếp (O) và XYZ đồng dạng $A_1B_1C_1. $
"Mấy tháng trôi qua nhưng bài toán vẫn còn rất hot,và tất nhiên là nó chưa dừng lại ở đó "

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

 
asdfghj (05-12-2011), batigoal (04-12-2011), hizact (04-12-2011), hoanghung (05-12-2011), hoangqnvip (19-10-2013), Lan Phuog (04-12-2011), nhox12764 (05-12-2011), nho_ngOx (05-12-2011), OnVMO (04-12-2011), phamtoan (05-12-2011), pvthuan (06-12-2011), soros_fighter (04-12-2011), thephuong (05-12-2011), tuan119 (04-12-2011)
04-12-2011, 11:19 PM   #3
tuan119
+Thành Viên+
 
 
: Dec 2008
: 993
: 273

Chú Thanh đầu tư nghiên cứu hơi khủng đấy!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________
 
n.v.thanh (04-12-2011), nho_ngOx (05-12-2011), OnVMO (04-12-2011)
05-12-2011, 03:24 PM   #4
Tranminhngoc
+Thành Viên+
 
: Dec 2009
: 200
: 83
Thanh bảo để dành làm kỉ niệm học toán nhưng giờ lại post. Điều đó chứng tỏ rằng chưa đến lúc mọi thứ thành kỉ niệm - Thanh đâu rồi đúng không
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
My Geometry Blog : )
https://tranminhngocctlhp.wordpress.com/
 
ma 29 (26-01-2013), n.v.thanh (05-12-2011)
05-12-2011, 05:40 PM   #5
batigoal
Super Moderator
 
 
: Jul 2010
: Hà Nội
: 2,895
: 382
Chú Thanh càng ngày càng trở nên lợi hại hơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]
 
n.v.thanh (05-12-2011)
05-12-2011, 07:13 PM   #6
Tranminhngoc
+Thành Viên+
 
: Dec 2009
: 200
: 83
Mình đoán trật lất rồi Thanh nhỉ . Mà có một sự trùng hợp: Đây đều là đề tài nghiên cứu cuối cùng của hai người giỏi hình trên MS trước khi họ đầu tư thi NTU
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
My Geometry Blog : )
https://tranminhngocctlhp.wordpress.com/
 
n.v.thanh (05-12-2011)
05-12-2011, 08:58 PM   #7
thephuong
+Thành Viên Danh Dự+
 
 
: May 2011
: Biên Hòa-Đồng Nai
: 862
: 206
Anh Thanh, bữa nào anh thi đại học xong, anh em mình cùng nghiên cứu tiếp vấn đề này, bây giờ em còn sợ anh thi đại học và em còn chuẩn bị thi học kì nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
You've set my heart soaring
Ma đáng yêu

: Tự động gộp bài
 
n.v.thanh (05-12-2011)
20-07-2012, 08:18 PM   #8
q785412369
+Thành Viên+
 
: Nov 2010
: 97
: 144
Ai có thời gian thì tiện tay post luôn lời giải các bài mở rộng ở đầu topic cho e tham khảo vs ạ ! Tks.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
 


« | »







- -

Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 89.32 k/99.45 k (10.19%)]