Tìm giá trị nhỏ nhất

[canh_96]

Với các số thực $x,\,y$ thỏa mãn $x+y=1$, tìm giá trị nhỏ nhất của
$$P(x,\,y)=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[2M]

Giả như có giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$ là $m$, lúc đó chọn
$$x=-\frac{1}{4+2|m|},\,y=1-x.$$
Thế thì có $- \frac{1}{2} \le x < 0,\;y > 1$ nên $x^3+y^3>\dfrac{1}{2}$ và do đó có mâu thuẫn
\[P\left( {x,{\mkern 1mu} y} \right) < 2 + \frac{1}{{xy}} =2 - \left( {2 + |m|} \right)\left( {\frac{{8 + 4|m|}}{{5 + 2|m|}}} \right) < 2 - \left( {2 + |m|} \right) = - |m| \le m.\]
Vậy, không tồn tại giá trị bé nhất của $P$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]