Một số kết quả đẹp về số Pi ($\pi$)

[batigoal]

Chào các bạn. Sau một thời gian tạm nghỉ với toán sơ cấp, Thời gian qua batigoal cũng đã tìm hiểu thêm về số Pi và cũng đã tìm hiểu thu được một số kết quả rất đẹp như sau:

Không có box chuyên đề nên nhét tạm bài viết này vào đây

. Đây là bài viết ủng hộ topic này http://forum.mathscope.org/showthrea...418#post147418 như đã nói.
Chắc hăn nhiều bạn trong chúng ta đều biết đến tổng nổi tiếng này $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}=\frac{\pi }{6}
$ nhưng bên cạnh đó còn có một số kết quả ấn tượng liên quan đến số $\pi$. Sau đây là 1 số kết quả như thế.

Một số đẳng thức đẹp về số $\pi$ . Việc chứng minh xin dành cho bạn đọc cho topic thêm xôm.
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}=\frac{\pi }{6}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^4}=\frac{\pi ^4}{90}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^6}=\frac{\pi^6 }{945}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(2i-1)^2}=\frac{\pi^2 }{8}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(2i-1)^4}=\frac{\pi^4 }{96}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{(2i-1)^6}=\frac{\pi^6 }{960}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^2}=\frac{\pi^2 }{12}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^4}=\frac{7\pi^4 }{30240}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^6}=\frac{31\pi^6}{12}$$

$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\binom{2i}{i}}=\frac {1}{3}+\frac{2\pi }{9\sqrt{3}}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{\binom{2i}{i}}=\frac {2}{3}+\frac{2\pi }{9\sqrt{3}}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i^2}{\binom{2i}{i}}=
\frac{4}{3}+\frac{10\pi }{27\sqrt{3}}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i\binom{2i}{i}}=
\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2\binom{2i}{i}}=
\frac{\pi^2 }{18}$$
$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{2-i}{i^2\binom{2i}{i}}=\frac{2\pi }{9\sqrt{3}}$$
(Còn nữa...)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]