Phương pháp diện tích (Chủ đề seminar ngày 30/5)

**namdung** · 17-05-2010, 10:09 PM

Bên cách các phương pháp như sử dụng phép biến hình, phương pháp véc-tơ, phương pháp tọa độ ... thì phương pháp diện tích là một phương pháp mạnh để giải toán hình học, chứng minh các định lý, công thức.

Các công thức tính bán kính các đường tròn đặc biệt trong tam giác, định lý Pythagore, Ceva, Menalaus, tính chất đường phân giác, đường thẳng Newton, định lý Carnot ... đều có những cách chứng minh gọn gàng thông qua diện tích.

Không phải ngẫu nhiên, trong lý thuyết chứng minh hình học hiện đại (chứng minh các định lý hình học sử dụng máy tính) người ta có nhắc đến và sử dụng phương pháp diện tích (Area method) như một những cơ sở lý thuyết quan trọng.

Phương pháp diện tích có thể sử dụng để chứng minh các đẳng thức, các công thức trong hình học (ví dụ định lý Steiner nổi tiếng $r_a + r_b + r_c = 4R + r $, sử dụng trong chứng minh thẳng hàng, song song, đồng quy (ví dụ định lý về đường thẳng Newton), chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình nghiệm nguyên (định lý Minkowsky), giải bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình ...

Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ thảo luận các ứng dụng khác nhau của phương pháp diện tích, đưa ra các ví dụ và bài tập kinh điển, phân tích cách nhận biết áp dụng phương pháp diện tích trong các bài toán hình học.

Mong rằng chủ đề này sẽ được hưởng ứng nhiệt tình.

Bài tổng kết chủ đề sẽ được trình bày tại seminar các PP toán sơ cấp vào ngày 30/5/2010.

**Nguyen Van Linh** · 17-05-2010, 10:41 PM

Chuyên đề của thầy rất hay đấy ạ.
Nói về diện tích thì chúng ta còn phải nói đến tâm tỉ cự, thực chất được xây dựng từ vectơ và diện tích,ngoài ra diện tích còn có ứng dụng lớn trong chứng minh các bài toán BĐT hình học.
Một vài bài toán sau có thể dùng diện tích để chứng minh:
Bài 1: Đường thẳng Gauss trong tứ giác toàn phần.
Bài 2: Cho tam giác ABC. I nằm trong tam giác có $I(\alpha, \beta, \gamma) $, $BI\cap CA=\{B'\}, CI\cap BA=\{C'\} $. Chứng minh với mọi P thuộc đoạn B'C' thì $\frac{a}{\alpha}.d_a=\frac{b}{\beta}.d_b+\frac{c}{ \gamma}d_c $ với a,b,c là 3 cạnh tam giác $ABC, d_a, d_b, d_c $ là khoảng cách từ P tới 3 cạnh tam giác ABC.
Bài 3: Cho tam giác đều ABC. M là điểm bất kì nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Từ M kẻ MA', MB', MC' lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh $MA'^2+MB'^2+MC'^2 $ không đổi.
Bài 4: Cho tam giác ABC. P là điểm bất kì nằm trong tam giác. AP, BP, CP lần lượt cắt (BPC), (CPA), (APB) lần thứ hai tại X, Y, Z. Chứng minh $\frac{AP}{AX}+\frac{BP}{BY}+\frac{CP}{CZ}=1 $

modular · 18-05-2010, 11:38 AM

Có một chuyên đề cùng bài tập ở đây
[Only registered and activated users can see links. ].

vulalach · 18-05-2010, 02:21 PM

Bài 5. Cho tứ giác ABCD. Tìm trong tứ giác những điểm O sao cho $S_{OAB} + S_{OCD} = S_{OBC} + S_{OAD} $
Bài toán này khá hay và ứng dụng trực tiếp của nó là bài toán về đường thẳng Newton trong tứ giác ngoại tiếp.
Bài 5.1 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, N là trung điểm AC và BD. Chứng minh rằng I, N, M thẳng hàng.
Bài 5.2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D là tiếp điểm của (I) và BC, M, N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh I, N, M thẳng hàng (hệ quả của 5.1)
Bài 5.3 Cho tam giác ABC. MNPQ là hình chữ nhật có M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi I là tâm hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định.

**huynhcongbang** · 18-05-2010, 10:24 PM

Em xin góp một vài chứng minh cho các định lí hình học cơ bản bằng phương pháp diện tích (định lí Thales, Pythagores, Menelaus, Ceva, tính chất đường phân giác, đường thẳng Gauss) và 2 bài toán đại số áp dụng phương pháp diện tích để giải. Do không có nhiều thời gian nên chỉ trình bày được có vài bài thôi, mong các bạn đóng góp tiếp!

vulalach · 19-05-2010, 12:22 PM

Bài toán đường thẳng Gauss có liên quan gì đến bài toán số 5 không nhỉ?

dacgiap · 25-05-2010, 10:12 PM

sao mình không thể tải tài liệu về vậy, mong admin giúp đỡ

**CMPITG** · 25-05-2010, 10:39 PM

Trích:

Nguyên văn bởi dacgiap

sao mình không thể tải tài liệu về vậy, mong admin giúp đỡ

Diễn đàn hiện đang gặp một vài lỗi, chúng tôi đang cố gắng khắc phục, bạn chịu khó đợi một thời gian nữa nhé.

**namdung** · 26-05-2010, 10:03 AM

Thông báo

Seminar các PP Toán sơ cấp với chủ đề: Phương pháp diện tích sẽ diễn ra vào sáng 30/5/2010 vào lúc 7:30-9:30.

Địa điểm: Phòng B207, trường PTNK, 153 Nguyễn Chí Thanh, Q.5
Báo cáo viên: Thầy Nguyễn Tăng Vũ, GV trường PTNK

Mời tất cả các bạn quan tâm tham dự.

**huynhcongbang** · 26-05-2010, 12:29 PM

Trích:

Nguyên văn bởi vulalach

Bài 5. Cho tứ giác ABCD. Tìm trong tứ giác những điểm O sao cho $S_{OAB} + S_{OCD} = S_{OBC} + S_{OAD} $
Bài toán này khá hay và ứng dụng trực tiếp của nó là bài toán về đường thẳng Newton trong tứ giác ngoại tiếp.
Bài 5.1 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, N là trung điểm AC và BD. Chứng minh rằng I, N, M thẳng hàng.
Bài 5.2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D là tiếp điểm của (I) và BC, M, N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh I, N, M thẳng hàng (hệ quả của 5.1)
Bài 5.3 Cho tam giác ABC. MNPQ là hình chữ nhật có M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi I là tâm hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định.

Bạn có thể gợi ý để giải bài toán 5 được không, rõ ràng là đường thẳng Newton được suy ra trực tiếp từ kết quả này. Trước giờ mình biết 2 cách chứng minh cho định lí này là sử dụng định lí con nhím hoặc dùng phương pháp diện tích nhưng theo hướng khác. Nếu giải được bài toán 5 một cách ngắn gọn thì có thêm 1 cách chứng minh độc đáo nữa rồi.

vulalach · 26-05-2010, 07:03 PM

[Only registered and activated users can see links. ]
Cái file mình chuẩn bị cho seminar (chưa hoàn thành), mình có chứng minh dùng cách này trong đó, bạn xem nhé.

**huynhcongbang** · 26-05-2010, 09:24 PM

Em cám ơn nhiều lắm! Em xin đóng góp thêm một vài chứng minh các định lí quen thuộc bằng cách áp dụng phương pháp diện tích: định lí Carnot, định lí Steiner, định lí tam giác có hai phân giác bằng nhau là tam giác cân.
http://www.mediafire.com/?vl4k3nfrn2d

**namdung** · 01-06-2010, 04:17 PM

Seminar đã diễn ra tốt đẹp vào sáng 30/5/2010. Thầy Vũ sẽ update file và gửi cho các bạn tham khảo trong thời gian ngắn.

Seminar tiếp theo sẽ diễn ra vào sáng chủ nhật ngày 13/6 với chủ đề: Phương pháp giải các bài toán cực trị. Địa điểm sẽ được thông báo sau vì ngày 13/6 trường PTNK bận thi đầu vào.

Nhân tiện đây, chúc các bạn ngày mai thi tốt nghiệp và sắp tới thi vào lớp 10 tốt.

**huynhcongbang** · 03-06-2010, 10:54 PM

Cho em hỏi hôm trước trong buổi seminar, thầy Vũ có nêu một định nghĩa cho hàm diện tích f của một hình như sau:
Hàm số f thỏa mãn:
1/$f(S) \ge 0 $.
2/$f(S_1)+f(S_2) = f(S_1 \cup S_2) $ với $S_1 \cap S_2 = \oslash $, với $S, S_1, S_2 $ là các hình phẳng.
3/ $f $ không thay đổi qua 1 phép dời hình...
Nhưng trong toán Sơ cấp thì định nghĩa giao của các tập hợp là:
$x \in (A \cap B) $ khi và chỉ khi $x \in A $ và $x \in B $. Như vậy thì định nghĩa giao của 2 hình ở trên được hiểu như thế nào? Nếu như nói hai hình có giao bằng rỗng nghĩa là không có điểm nào chung thì VD như những điểm đó nằm trên 1 cạnh chung của 2 tam giác nằm về 2 phía của cạnh đó thì diện tích của hình đó (hình hợp bởi hai tam giác) vẫn bằng tổng diện tích của từng tam giác mà (nhưng có giao khác rỗng).

99 · 03-06-2010, 11:42 PM

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Như vậy thì định nghĩa giao của 2 hình ở trên được hiểu như thế nào? Nếu như nói hai hình có giao bằng rỗng nghĩa là không có điểm nào chung thì VD như những điểm đó nằm trên 1 cạnh chung của 2 tam giác nằm về 2 phía của cạnh đó thì diện tích của hình đó (hình hợp bởi hai tam giác) vẫn bằng tổng diện tích của từng tam giác mà (nhưng có giao khác rỗng).

Giao của hai hình vẫn hiểu theo nghĩa tập hợp thôi. Câu sau của bạn cũng không gây mâu thuẫn gì cả, vì diện tích của một đoạn thẳng theo nghĩa bạn hiểu nó bằng 0 mà.

Xem ra xê-mi-na này có ích quá nhỉ

, định nghĩa rõ cho học sinh thế nào là diện tích. Hy vọng có bạn nào ghi chép đầy đủ rồi chia sẻ cho mọi người

17-05-2010, 10:09 PM	#1
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Phương pháp diện tích (Chủ đề seminar ngày 30/5) Bên cách các phương pháp như sử dụng phép biến hình, phương pháp véc-tơ, phương pháp tọa độ ... thì phương pháp diện tích là một phương pháp mạnh để giải toán hình học, chứng minh các định lý, công thức. Các công thức tính bán kính các đường tròn đặc biệt trong tam giác, định lý Pythagore, Ceva, Menalaus, tính chất đường phân giác, đường thẳng Newton, định lý Carnot ... đều có những cách chứng minh gọn gàng thông qua diện tích. Không phải ngẫu nhiên, trong lý thuyết chứng minh hình học hiện đại (chứng minh các định lý hình học sử dụng máy tính) người ta có nhắc đến và sử dụng phương pháp diện tích (Area method) như một những cơ sở lý thuyết quan trọng. Phương pháp diện tích có thể sử dụng để chứng minh các đẳng thức, các công thức trong hình học (ví dụ định lý Steiner nổi tiếng $r_a + r_b + r_c = 4R + r $, sử dụng trong chứng minh thẳng hàng, song song, đồng quy (ví dụ định lý về đường thẳng Newton), chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình nghiệm nguyên (định lý Minkowsky), giải bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình ... Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ thảo luận các ứng dụng khác nhau của phương pháp diện tích, đưa ra các ví dụ và bài tập kinh điển, phân tích cách nhận biết áp dụng phương pháp diện tích trong các bài toán hình học. Mong rằng chủ đề này sẽ được hưởng ứng nhiệt tình. Bài tổng kết chủ đề sẽ được trình bày tại seminar các PP toán sơ cấp vào ngày 30/5/2010.

17-05-2010, 10:41 PM	#2
Nguyen Van Linh Moderator Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 277 Thanks: 69 Thanked 323 Times in 145 Posts	Chuyên đề của thầy rất hay đấy ạ. Nói về diện tích thì chúng ta còn phải nói đến tâm tỉ cự, thực chất được xây dựng từ vectơ và diện tích,ngoài ra diện tích còn có ứng dụng lớn trong chứng minh các bài toán BĐT hình học. Một vài bài toán sau có thể dùng diện tích để chứng minh: Bài 1: Đường thẳng Gauss trong tứ giác toàn phần. Bài 2: Cho tam giác ABC. I nằm trong tam giác có $I(\alpha, \beta, \gamma) $, $BI\cap CA=\{B'\}, CI\cap BA=\{C'\} $. Chứng minh với mọi P thuộc đoạn B'C' thì $\frac{a}{\alpha}.d_a=\frac{b}{\beta}.d_b+\frac{c}{ \gamma}d_c $ với a,b,c là 3 cạnh tam giác $ABC, d_a, d_b, d_c $ là khoảng cách từ P tới 3 cạnh tam giác ABC. Bài 3: Cho tam giác đều ABC. M là điểm bất kì nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Từ M kẻ MA', MB', MC' lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh $MA'^2+MB'^2+MC'^2 $ không đổi. Bài 4: Cho tam giác ABC. P là điểm bất kì nằm trong tam giác. AP, BP, CP lần lượt cắt (BPC), (CPA), (APB) lần thứ hai tại X, Y, Z. Chứng minh $\frac{AP}{AX}+\frac{BP}{BY}+\frac{CP}{CZ}=1 $ thay đổi nội dung bởi: Nguyen Van Linh, 17-05-2010 lúc 10:47 PM

18-05-2010, 02:21 PM	#4
vulalach +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Bài gởi: 20 Thanks: 30 Thanked 36 Times in 13 Posts	Bài 5. Cho tứ giác ABCD. Tìm trong tứ giác những điểm O sao cho $S_{OAB} + S_{OCD} = S_{OBC} + S_{OAD} $ Bài toán này khá hay và ứng dụng trực tiếp của nó là bài toán về đường thẳng Newton trong tứ giác ngoại tiếp. Bài 5.1 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi M, N là trung điểm AC và BD. Chứng minh rằng I, N, M thẳng hàng. Bài 5.2 Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D là tiếp điểm của (I) và BC, M, N là trung điểm của AD và BC. Chứng minh I, N, M thẳng hàng (hệ quả của 5.1) Bài 5.3 Cho tam giác ABC. MNPQ là hình chữ nhật có M thuộc AB, N thuộc AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi I là tâm hình chữ nhật MNPQ. Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định. thay đổi nội dung bởi: vulalach, 18-05-2010 lúc 02:28 PM

03-06-2010, 10:54 PM	#14
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Cho em hỏi hôm trước trong buổi seminar, thầy Vũ có nêu một định nghĩa cho hàm diện tích f của một hình như sau: Hàm số f thỏa mãn: 1/$f(S) \ge 0 $. 2/$f(S_1)+f(S_2) = f(S_1 \cup S_2) $ với $S_1 \cap S_2 = \oslash $, với $S, S_1, S_2 $ là các hình phẳng. 3/ $f $ không thay đổi qua 1 phép dời hình... Nhưng trong toán Sơ cấp thì định nghĩa giao của các tập hợp là: $x \in (A \cap B) $ khi và chỉ khi $x \in A $ và $x \in B $. Như vậy thì định nghĩa giao của 2 hình ở trên được hiểu như thế nào? Nếu như nói hai hình có giao bằng rỗng nghĩa là không có điểm nào chung thì VD như những điểm đó nằm trên 1 cạnh chung của 2 tam giác nằm về 2 phía của cạnh đó thì diện tích của hình đó (hình hợp bởi hai tam giác) vẫn bằng tổng diện tích của từng tam giác mà (nhưng có giao khác rỗng). thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 03-06-2010 lúc 10:58 PM

Ðiều Chỉnh
Tạo trang in Email trang này
Xếp Bài
Chế độ bình thường Chuyển sang chế độ Pha trộn Chuyển sang chế độ dạng cây

18-05-2010, 11:38 AM	#3
modular B&S-D Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 589 Thanks: 395 Thanked 147 Times in 65 Posts	Có một chuyên đề cùng bài tập ở đây [Only registered and activated users can see links. ].

19-05-2010, 12:22 PM	#6
vulalach +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Bài gởi: 20 Thanks: 30 Thanked 36 Times in 13 Posts	Bài toán đường thẳng Gauss có liên quan gì đến bài toán số 5 không nhỉ?

25-05-2010, 10:12 PM	#7
dacgiap +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 26 Thanks: 30 Thanked 13 Times in 3 Posts	sao mình không thể tải tài liệu về vậy, mong admin giúp đỡ

26-05-2010, 10:03 AM	#9
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Thông báo Seminar các PP Toán sơ cấp với chủ đề: Phương pháp diện tích sẽ diễn ra vào sáng 30/5/2010 vào lúc 7:30-9:30. Địa điểm: Phòng B207, trường PTNK, 153 Nguyễn Chí Thanh, Q.5 Báo cáo viên: Thầy Nguyễn Tăng Vũ, GV trường PTNK Mời tất cả các bạn quan tâm tham dự.

26-05-2010, 07:03 PM	#11
vulalach +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Bài gởi: 20 Thanks: 30 Thanked 36 Times in 13 Posts	[Only registered and activated users can see links. ] Cái file mình chuẩn bị cho seminar (chưa hoàn thành), mình có chứng minh dùng cách này trong đó, bạn xem nhé.

26-05-2010, 09:24 PM	#12
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Em cám ơn nhiều lắm! Em xin đóng góp thêm một vài chứng minh các định lí quen thuộc bằng cách áp dụng phương pháp diện tích: định lí Carnot, định lí Steiner, định lí tam giác có hai phân giác bằng nhau là tam giác cân. http://www.mediafire.com/?vl4k3nfrn2d

01-06-2010, 04:17 PM	#13
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Seminar đã diễn ra tốt đẹp vào sáng 30/5/2010. Thầy Vũ sẽ update file và gửi cho các bạn tham khảo trong thời gian ngắn. Seminar tiếp theo sẽ diễn ra vào sáng chủ nhật ngày 13/6 với chủ đề: Phương pháp giải các bài toán cực trị. Địa điểm sẽ được thông báo sau vì ngày 13/6 trường PTNK bận thi đầu vào. Nhân tiện đây, chúc các bạn ngày mai thi tốt nghiệp và sắp tới thi vào lớp 10 tốt.