Một bài hình hay.

[caubemetoan96]

Mình đang gặp phải một vắn đề như này. Mong mọi người giúp đỡ.
Cho đường tròn $(O) $ đi qua hai đỉnh $B, C $ của tam giác $ABC $ và một đường tròn $ (I) $ tiếp xúc với $AB, AC, (O) $ tương ứng tại P, Q, T tương ứng. Gọi $M $là trung điểm cung $BTC $của $(O) $. Chứng minh rằng $BC, PQ, MT $ đồng quy.

Mình thấy rằng nếu chứng minh được bài toán tổng quát này thì sẽ có khá nhiều điều thư vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[liverpool29]

Nguyên văn bởi caubemetoan96

Mình đang gặp phải một vắn đề như này. Mong mọi người giúp đỡ.
Cho đường tròn $(O) $ đi qua hai đỉnh $B, C $ của tam giác $ABC $ và một đường tròn $ (I) $ tiếp xúc với $AB, AC, (O) $ tương ứng tại P, Q, T tương ứng. Gọi $M $là trung điểm cung $BTC $của $(O) $. Chứng minh rằng $BC, PQ, MT $ đồng quy.

Mình thấy rằng nếu chứng minh được bài toán tổng quát này thì sẽ có khá nhiều điều thư vị.

Ta có bổ đề sau: Cho hai đường tròn $(O_1;R_1);(O_2;R_2)$ cùng tiếp xúc trong (ngoài) với $(O;R)$; $A,B$ lần lượt là các tiếp điểm. Kí hiệu $t_{12}$ là độ dài đoạn tiếp tuyến chung ngoài của $(O_1),(O_2)$. Khi đó: $t_{12}=\dfrac{AB}{R}\sqrt{(R \pm R_1)(R \pm R_2)}$
Gọi r là bán kính của $(I)$; $R$ là bán kính của $(O)$.
Xét trường hợp $(I)$ tiếp xúc trong với $(O)$. Trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Áp dụng bổ đề ta có:
$BP=\dfrac{BT}{R}\sqrt{R(R-r)}; CQ=\dfrac{CT}{R}\sqrt{R(R-r)}$
Suy ra $\dfrac{BP}{CQ}=\dfrac{BT}{CT}.$
Gọi $V$ là giao điểm của $PQ,BC$. áp dụng định lí Menelaus ta có $\dfrac{VB}{VC}=\dfrac{BP}{CQ}=\dfrac{BT}{CT}$
Suy ra $V$ là phân giác ngoài $\widehat{BTC}$
Mặt khác $TM$ cũng là phân giác ngoài $\widehat{BTC}$
Suy ra $TM,BC,PQ$ đồng quy tại $V$

Bài này em đã viết khá đầy đủ trong định lí Ptolemy trong chuyên đề hình học sắp đến, anh đón xem nhá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[caubemetoan96]

Đúng rồi. Anh cũng đã nghĩ đến. Cám ơn em nhiều lắm.
À thế khi nào chuyên đề hình của Diễn đàn ra lò thế em?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[liverpool29]

Nguyên văn bởi caubemetoan96

Đúng rồi. Anh cũng đã nghĩ đến. Cám ơn em nhiều lắm.
À thế khi nào chuyên đề hình của Diễn đàn ra lò thế em?

Chuyên đề sẽ ra lò vào đầu thắng 9 anh
Em biết một bài tổng quát khác cũng khá thú vị
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$.$D$ là một điểm thuộc cạnh $BC$. $(I_1); (I_2)$ là hai đường tròn tiếp xúc trong với $(O)$ và tiếp xúc với $AD,BC$. $S$ là giao điểm của đường tròn Mixtilinear góc $A$ với $(O)$. $H$ là giao của $AD$ với $(O)$. Khi đó $BC,HS,I_1I_2$ đồng quy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[caubemetoan96]

Nguyên văn bởi liverpool29

Chuyên đề sẽ ra lò vào đầu thắng 9 anh
Em biết một bài tổng quát khác cũng khá thú vị
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$.$D$ là một điểm thuộc cạnh $BC$. $(I_1); (I_2)$ là hai đường tròn tiếp xúc trong với $(O)$ và tiếp xúc với $AD,BC$. $S$ là giao điểm của đường tròn Mixtilinear góc $A$ với $(O)$. $H$ là giao của $AD$ với $(O)$. Khi đó $BC,HS,I_1I_2$ đồng quy

Uhm. Anh cũng đã từng biết qua cái này. Chắc phần em viết chính là định lý Casey _ Ptoleme mở rộng đúng không?
Anh cũng đang nhiên cứu phần này. Anh thấy cũng thú vị đấy.
Nhưng cách chứng minh định lý nầy của anh có dùng cả phép nghịch đảo nữa. Em xài những gì.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[liverpool29]

Nguyên văn bởi caubemetoan96

Uhm. Anh cũng đã từng biết qua cái này. Chắc phần em viết chính là định lý Casey _ Ptoleme mở rộng đúng không?
Anh cũng đang nhiên cứu phần này. Anh thấy cũng thú vị đấy.
Nhưng cách chứng minh định lý nầy của anh có dùng cả phép nghịch đảo nữa. Em xài những gì.

Em dùng các biến đổi thông thường thôi anh , không dùng gì đến Ptolemy và Casey hết, và bài giải của em dài tới 2 trang. Nếu có thể, anh nêu các ý chính làm bằng Ptolemy được không anh, em rất muốn tham khảo.Em cảm ơn anh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[caubemetoan96]

Nguyên văn bởi liverpool29

Em dùng các biến đổi thông thường thôi anh , không dùng gì đến Ptolemy và Casey hết, và bài giải của em dài tới 2 trang. Nếu có thể, anh nêu các ý chính làm bằng Ptolemy được không anh, em rất muốn tham khảo.Em cảm ơn anh.

Không.
Ý anh là anh đang nói tới Đình Lý Casey cơ.
Thế em viết phần nào?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]