Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Thi HSG Cấp Quốc Gia

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 11-02-2013, 05:08 PM   #1
Gin Mellkior
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 86
Thanks: 226
Thanked 60 Times in 27 Posts
Philippine Mathematical Olympiad 2013

Philippine Mathematical Olympiad 2013


Bài 1: Xác định ít nhất một số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$,…, $x_{n}$ để $$\left(1-\frac{1}{x_1}\right)\left(1-\frac{1}{x_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{x_n}\right)=\frac{15}{2013}$$

Bài 2: Gọi $P$ là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của tam giác $ABC$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là giao điểm của $AP$ với $BC$, $BP$ với $AC$, $CP$ với $AB$. Giả sử rằng các tam giác $APF$, $BPD$, $CPE$ có cùng diện tích. Chứng minh rằng $P$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Bài 3: Cho $n$ là số nguyên dương. Các số từ $1$, $2$,…, $2n$ được sắp xếp bất kỳ trên một đường tròn. Mỗi dây cung được nối hai điểm trong các điểm kia và được gán bằng độ chênh lệch dương của hai điểm đầu mút. Chứng minh rằng ta có thể chọn được $n$ dây cung đôi một không cẳt nhau sao cho tổng các số được gán trên các dây cung bằng $n^{2}$.

Bài 4: Cho $p\leq q$ là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu một trong hai số $a^{p}$ hoặc $a^{q}$ chia hết cho $p$ thì số còn lại cũng chia hết cho $p$.

Bài 5: Cho $r,s$ là các số thực dương sao cho $\left ( r+s-rs \right )\left ( r+s+rs \right )=rs$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $r+s-rs$ và $r+s+rs$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LSTN, tạm biệt nhé...!
Gin Mellkior is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Gin Mellkior For This Useful Post:
blackholes. (11-02-2013)
Old 11-02-2013, 06:47 PM   #2
kien10a1
+Thành Viên+
 
kien10a1's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2011
Đến từ: Vĩnh Yên- Vĩnh Phúc
Bài gởi: 371
Thanks: 43
Thanked 263 Times in 153 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới kien10a1
Bài 2 là APMO 2012 thì phải.
Bài 3: Tô n điểm có số $n+1,n+2,...,2n $ màu xanh, $n $ điểm còn lại tô đỏ
Xét cách nối n đoạn thẳng rời nhau có đầu mút xanh- đỏ sao cho tổng độ dài các đoạn là nhỏ nhất.
Cm được cách tô này thỏa mãn bằng việc sử dụng bổ đề: tổng 2 đường chéo trong tứ giác luôn lớn hơn nửa chu vi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Quay về với nơi bắt đầu
kien10a1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to kien10a1 For This Useful Post:
Gin Mellkior (11-02-2013)
Old 11-02-2013, 08:24 PM   #3
hansongkyung
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Đến từ: Han Tae Woong - IMO 1998
Bài gởi: 493
Thanks: 109
Thanked 417 Times in 241 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới hansongkyung
Trích:
Nguyên văn bởi Gin Mellkior View Post
Philippine Mathematical Olympiad 2013


Bài 1: Xác định ít nhất một số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$,…, $x_{n}$ để $$\left(1-\frac{1}{x_1}\right)\left(1-\frac{1}{x_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{x_n}\right)=\frac{15}{2013}$$
Ta có:
$\left(1-\frac{1}{x_1}\right)\left(1-\frac{1}{x_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{x_n}\right) \ge \left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)...\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$
$\Rightarrow \dfrac{15}{2013} \ge \frac{1}{2}\frac{2}{3}...\frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}$
$\Rightarrow \dfrac{15}{2013} \ge \dfrac{1}{n+1} \Rightarrow n \ge 134$
Ta tìm được 134 số nguyên dương phân biệt thỏa mãn điều kiện như sau:
$\frac{15}{2013} = \frac{5}{671} =\frac{1}{2}\frac{2}{3}...\frac{10}{11}\frac{12}{1 3}\frac{13}{14}...\frac{60}{61}\frac{62}{63}\frac{ 63}{64}...\frac{134}{135}$ @#$%#@$#@%
Chỗ này lằng nhằng quá chưa tìm đc
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
hansongkyung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-02-2013, 08:55 PM   #4
lequoctung
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2011
Bài gởi: 1
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Có bản pdf không anh, cho em xin với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
lequoctung is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-02-2013, 10:05 PM   #5
Gin Mellkior
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 86
Thanks: 226
Thanked 60 Times in 27 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi lequoctung View Post
Có bản pdf không anh, cho em xin với
Mới làm xong đây này bạn
----
[Only registered and activated users can see links. ].
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
File Kèm Theo
Kiểu File : pdf Philippine Mathematical Olympiad 2013.pdf (77.9 KB, 197 lần tải)
__________________
LSTN, tạm biệt nhé...!

thay đổi nội dung bởi: Gin Mellkior, 11-02-2013 lúc 10:12 PM
Gin Mellkior is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 09:17 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2021, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 55.57 k/62.29 k (10.79%)]