Topic luyện thi ĐH chuyên về PT, HPT ...

[DoBaChuGVToan]

Nguyên văn bởi vipCD

Bài 5: Giải hệ phương trình

$\left{\begin{x+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1}\\y+\sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 $

Cái bài này có xuất xứ là bài trong đề dự bị đại học khối A năm 2008 sao ấy , đưa vào đây là phù hợp để các bạn là . Thực ra sau này quy về GPT

$x+\sqrt{x^2+1}=3^x $

Mình nhớ bài này đã có bạn hỏi bên này rồi , mình đã giải nhưng hình như các mod xóa rồi sao ấy , nó có khá nhiều cách biến đổi khác nhau , thôi mình copy lời giải này bên Maths.vn sang đây

Nguyên văn bởi Dobachu

Ta có $\sqrt{x^2+1}> |x| \ge -x \Rightarrow \sqrt{x^2+1}+x>0 , \forall x \in R $ . Do đó 2 vế PT dương và như vậy :
$PT \Leftrightarrow ln(x+\sqrt{x^2+1}) = xln3 \Leftrightarrow ln(x+\sqrt{x^2+1}) -xln3=0 \; \; (1) $
Đặt $VT(1) = f(x) $ , có $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-ln3 \le 1-ln3<0 , \forall x \in R $ (Do $\sqrt{x^2+1}>1 $ . Như thế hàm $f(x) $ giảm trên $R $ . Và vì vậy PT(1) hay cũng chính là PT đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Member_Of_AMC]

Nguyên văn bởi vipCD

Bài 2. Giải phương trình

$x^2-2x+6+4^{log_3{(x^2-2x+6)}}=(x^2-2x+6)^{log_3{5}} $

Chà, bài này ko ai làm à?
Đặt $t=x^2-2x+6 >0 $ pt tương đương với: $t+4^{log_3{t}}=t^{log_3{5}} (*) $
mà ta có $a^{log_b{c}}=a^{log_b{a}.log_a{c}}=c^{log_b{a}} $ với mọi a,b,c dương khác 1 nên:
$(*)<=>3^{log_3{t}}+4^{log_3{t}}=5^{log_3{t}} $, tới đây đặt $u={log_3{t}} $, rồi chia cả 2 vế cho $5^u $ là ra ngay pt có nghiệm duy nhất $u=2 $. Từ đó tính dc x.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nhiên]

Nguyên văn bởi vipCD

Bài 5: Giải hệ phương trình

$\left{\begin{x+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1}\\y+\sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 $

Đây là đề dự bị 1 khối A năm 2007
Cách giải của thầy Chủ là các của mình đã làm trên maths.vn năm ngoái . ngoài ra cách làm này mình cũng đưa trong bài viết đăng trong báo Toán Học Tuổi Trẻ tháng 1 , cái file đó đây
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vipCD]

Để tớ đánh số lun
Bài 6. Giải hệ pt

$\left{\begin{e^x=2009-\frac{y}{\sqrt{y^2-1}}\\{e^y=2009-\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} $

Bài 7. Giải hệ pt

$\left{\begin{x^2=1+6log_4^y}\\y^2=2^xy+2^{2x+1} $

.............................

hi vọng các bạn thật sự cần ôn đại học, post bài tập trung vào các topic để chúng ta dễ theo giỏi, he!
P\s: xin lỗi thầy Chủ, he
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nhiên]

Nguyên văn bởi DoBaChuGVToan

Cái bài này có xuất xứ là bài trong đề dự bị đại học khối A năm 2008 sao ấy , đưa vào đây là phù hợp để các bạn là . Thực ra sau này quy về GPT

$x+\sqrt{x^2+1}=3^x $

Mình nhớ bài này đã có bạn hỏi bên này rồi , mình đã giải nhưng hình như các mod xóa rồi sao ấy , nó có khá nhiều cách biến đổi khác nhau , thôi mình copy lời giải này bên Maths.vn sang đây

ý tưởng của hai anh em mình giống nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[fartome]

Theo em,bài 6 thì dùng đạo hàm cm hàm ${f(t)=^}{e^t} $ - $\frac{t}{sqrt{t^2-1}} $ ,nó đồng biến là được.
Còn bài 7,phương trình thứ 2 ,đặt ${t=}{2^x} $
Ta có $2t^2 $ +ty=$y^2 $
Giải ra ta có ${y/2=t=}{2^x} $
Đến đây ,chắc dễ rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DoBaChuGVToan]

Nguyên văn bởi fartome

theo em,bài 6 thì dùng đạo hàm cm hàm f(t)= $e^t $ - $\frac{t}{sqrt{t^2+1}} $ ,nó đồng biến là được.

Bài này là đề dự bị Đại học , hình như chỉ chứng minh được hệ có 2 nghiệm thỏa x > 1 , y > 1 ???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vipCD]

Nguyên văn bởi fartome

Theo em,bài 6 thì dùng đạo hàm cm hàm ${f(t)=^}{e^t} $ - $\frac{t}{sqrt{t^2-1}} $ ,nó đồng biến là được.

Chưa chắc đâu

Bài 8. Giải phương trình

$\tan(\frac{\pi}{4}-x)=5\sin^2x-4 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vipCD]

Cái bài phương trình này tính sao mọi người!

Bài 9.Tìm m để phương trình có nghiệm:

$m(\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4})-\sqrt{x+2}=2\sqrt[4]{x^2-4} $

Mình xét hai trường hợp
+x=2
+x khác 2: rồi chia 2 vế phương trình cho $\sqrt{x+2} $
đặt $t=\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}} $, khổ một cái là không tìm được tập xác đinh của t

.................
thầy Chủ và các bạn giải giúp mình được không! Sửa lại rồi khánh ơi, he bài này mình nhầm tìm t được he
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Nguyên văn bởi vipCD

Cái bài phương trình này tính sao mọi người!

Bài 9.Tìm m để phương trình:

$m(\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4})-\sqrt{x+2}=2\sqrt[4]{x^2-4} $

Mình xét hai trường hợp
+x=2
+x khác 2: rồi chia 2 vế phương trình cho $\sqrt{x-2} $
đặt $t=\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}} $, khổ một cái là không tìm được tập xác đinh của t

.................
thầy Chủ và các bạn giải giúp mình được không!

Tìm m để làm gì????umb:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[DoBaChuGVToan]

Bai 10.Giải HPT sau:
$\begin{\left{\sqrt[3]{1+x}+\sqrt{1-y}=2 \\{x^2-y^4+9y=x(9+y-y^3)} $
==============

Nguyên văn bởi vipCD

Bài 9.Tìm m để phương trình có nghiệm:
$m(\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4})-\sqrt{x+2}=2\sqrt[4]{x^2-4} $

ĐK :$x \ge 2 $
Dễ thấy $x=2 $ không thỏa mãn PT
Với $x > 2 $, chia hai vế PT cho $\sqrt{x-2} $ ta được
$PT\Leftrightarrow m(1+2\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}})=2\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}+\sqrt{\frac{x+2}{x-2}} \; \;(*) $
Đặt $t=\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}-1=\sqrt[4]{1+\frac{4}{x-2}}-1>1-1=0 ,\forall x >2 $
Khi đó $(*)\Leftrightarrow m[1+2(t+1)]=2(t+1)+(t-1)^2\Leftrightarrow t^2-2mt+3-3m=0 (**) $
PT đầu có nghiệm $x>2\Leftrightarrow (**) $ có nghiệm $t>0 $
Ta tìm m để $(**) $ không có nghiệm $t>0 $
$(**) $ không có nghiệm $t>0 $$\Leftrightarrow $$(**) $ vô nghiệm hoặc $(**) $ có 2 nghiệm $t_1,t_2 :t_1 \le t_2 \le 0 $
$\Leftrightarrow\Delta_{t}{'}=m^2+3m-3<0 $ hoặc $\begin{\left{\Delta_{t}{'}=m^2+3m-3\ge 0 \\ S_t=2m \le 0\\ P_t =3-3m \ge 0 $ . Giải ra được $ m<\frac{-3+\sqrt{21}}{2} $
Vậy từ đó $(**) $ có nghiệm $t>0 $ khi và chỉ khi $ m\ge \frac{-3+\sqrt{21}}{2} $ , và đó là đáp số bài toán .
Chú ý : Với cách đặt ẩn phụ t như trên thì bài toán đã được giải bởi kiến thức lớp 9 , ở đây ta không dùng định lí đảo - cái này đã bỏ rồi !
Ngoài cách đó bạn có thể đưa PT về $m = \frac{t^2+3}{2t+3}=f(t) \; \;, t>0 $ , sau đó lập BBT của hàm f(t) với t > 0 cũng cho KQ .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinh1b]

Bài của DoBaChuGVToan,
ta có $y\le1 và x\le 2^3-1=7 $
Từ pt (2) $(x-y)(9-x-y^3)=0 $
do đk trên suy ra $x=y $
Khi đó ta có thể giải dễ rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vipCD]

Bài 11. Giải bất phương trình

$log_2({\frac{x^2-x+1}{2x^2+3x+4}}) \leq{x^2+4x+3} $

(Đề thi học kì II khánh hòa, hôm nay 9-5-2009)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vinh1b]

Bài này Đặt $u=x^2-x+1; v= 2x^2+3x+4 $
u, v dương
sau đó xét hàm[TEX]log2(u) + u ta có
u<=v
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[PDlong]

Nguyên văn bởi vipCD

Cái bài phương trình này tính sao mọi người!

Bài 9.Tìm m để phương trình có nghiệm:

$m(\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4})-\sqrt{x+2}=2\sqrt[4]{x^2-4} $

Mình xét hai trường hợp
+x=2
+x khác 2: rồi chia 2 vế phương trình cho $\sqrt{x+2} $
đặt $t=\sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}} $, khổ một cái là không tìm được tập xác đinh của t

.................
thầy Chủ và các bạn giải giúp mình được không! Sửa lại rồi khánh ơi, he bài này mình nhầm tìm t được he

[Only registered and activated users can see links. ]
Đáp số bài này là m>1.Vậy thì thầy DoBaChu giải sai rồi.Mong thầy xem lại
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]