Đề thi tuyển vào lớp chất lượng cao ĐH Sư Phạm Hà Nội Năm 2014

Ispectorgadget · 07-09-2014, 12:34 PM

Đề thi tuyển vào lớp chất lượng cao ĐH Sư Phạm Hà Nội Năm 2014
Môn toán 2
Thời gian làm bài 180 phút

Câu I. (2,0 điểm)
1) Tính giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm thực : $x\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=m(\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x})$
2) Giải phương trình sau trong tập các số phức $\mathbb{C}$ : $x^3+6x^2+12x+7=0$

Câu II.( 3,0 điểm)
1) Tìm giới hạn $\lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$ , $n$ dấu căn
2) Cho $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}.$ Chứng minh rằng :
$\frac{5}{2}<\int_{2}^{3}f(x)dx<\frac{9\sqrt{2}}{4 }$

Câu III. (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(1,2,3),B(-1,2,4)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y+z=0.$ Tìm điểm $M$ thuộc $(P)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất

Câu IV (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho Elip $(E): \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ và đường thẳng $\Delta:x-y-9=0$
1) Tìm trên $E$ điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ nhỏ nhất.
2) Một hình chữ nhật được gọi là ngoại tiếp $(E)$ nếu các cạnh của chúng đều tiếp xúc với $(E).$ Trong các hình chữ nhật ngoại tiếp $(E)$ , tìm hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất.

Câu V (1,0 điểm)
Cho tập $S=\begin{Bmatrix}1,2,3,...,19,20 \end{Bmatrix}.$ Có bao nhiêu cách chọn một bộ năm số (không kể thứ tự ) trong $S$ sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu $2$ số bất kỳ đều lớn hơn hoặc bằng $2$ ?

Câu VI (1,0 điểm)
Cho số nguyên dương $M>3.$ Giả sử $x_1,x_2,...,x_{2014}$ là các số nguyên dương sao cho $x_1.x_2.....x_{2014}=M.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$S=x_{1}^3+x_{2}^3+...+x_{2014}^3$

tranhongviet · 08-09-2014, 06:21 PM

Câu VI: Bằng quy nạp, ta chứng minh được $x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+x^{3}_{3}+...+x_{n}^{3}\leq (x_{1}.x_{2}..x_{n})^{3}+n-1 $.

07-09-2014, 12:34 PM	#1
Ispectorgadget +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Đến từ: Hồ Chí Minh city Bài gởi: 98 Thanks: 53 Thanked 126 Times in 57 Posts	Đề thi tuyển vào lớp chất lượng cao ĐH Sư Phạm Hà Nội Năm 2014 Đề thi tuyển vào lớp chất lượng cao ĐH Sư Phạm Hà Nội Năm 2014 Môn toán 2 Thời gian làm bài 180 phút Câu I. (2,0 điểm) 1) Tính giá trị của tham số $m$ để phương trình sau có nghiệm thực : $x\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=m(\sqrt{2-x}+\sqrt{1-x})$ 2) Giải phương trình sau trong tập các số phức $\mathbb{C}$ : $x^3+6x^2+12x+7=0$ Câu II.( 3,0 điểm) 1) Tìm giới hạn $\lim_{n\rightarrow +\infty }\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$ , $n$ dấu căn 2) Cho $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}.$ Chứng minh rằng : $\frac{5}{2}<\int_{2}^{3}f(x)dx<\frac{9\sqrt{2}}{4 }$ Câu III. (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(1,2,3),B(-1,2,4)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x+y+z=0.$ Tìm điểm $M$ thuộc $(P)$ sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất Câu IV (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho Elip $(E): \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ và đường thẳng $\Delta:x-y-9=0$ 1) Tìm trên $E$ điểm $M$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ nhỏ nhất. 2) Một hình chữ nhật được gọi là ngoại tiếp $(E)$ nếu các cạnh của chúng đều tiếp xúc với $(E).$ Trong các hình chữ nhật ngoại tiếp $(E)$ , tìm hình chữ nhật có diện tích nhỏ nhất. Câu V (1,0 điểm) Cho tập $S=\begin{Bmatrix}1,2,3,...,19,20 \end{Bmatrix}.$ Có bao nhiêu cách chọn một bộ năm số (không kể thứ tự ) trong $S$ sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu $2$ số bất kỳ đều lớn hơn hoặc bằng $2$ ? Câu VI (1,0 điểm) Cho số nguyên dương $M>3.$ Giả sử $x_1,x_2,...,x_{2014}$ là các số nguyên dương sao cho $x_1.x_2.....x_{2014}=M.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=x_{1}^3+x_{2}^3+...+x_{2014}^3$ __________________ $F\begin{Bmatrix} \heartsuit \end{Bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{it\heartsuit}dt=? $ thay đổi nội dung bởi: Ispectorgadget, 07-09-2014 lúc 12:37 PM

08-09-2014, 06:21 PM	#2
tranhongviet +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2013 Đến từ: ha noi Bài gởi: 227 Thanks: 53 Thanked 75 Times in 61 Posts	Câu VI: Bằng quy nạp, ta chứng minh được $x^{3}_{1}+x^{3}_{2}+x^{3}_{3}+...+x_{n}^{3}\leq (x_{1}.x_{2}..x_{n})^{3}+n-1 $.