Việt Nam TST 2010(Đề thi-Đáp án-Danh sách đội tuyển)

[hieu_math]

ai có đề thi TST hôm nay ko post lên di
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nhím]

Ai có đề thi TST ngày 2 cho xin với.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[danghieu_dhsp]

Ai có đề thi TST ngày 2 cho xin với.

Tớ chưa hỏi được đề nhưng nghe nói thì là gồm 3 bài: Bài 1: BDT ( Hình như ai cũng làm được), Bài 2: Số học, Bài 3: Tổ hợp.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nhím]

Con số này chắc là tối ưu đấy, cách lát hình $4 \times 2n $ như thế nào nhỉ? Bạn viết rõ hơn được không?

nhìn bài 3 hay hay, đoán kết quả là 1006 , chắc là ko đúng

có thể nhận thấy là hình $4 \times 2n $ có thể lát kín bởi $4 $ hcn đơn và các hình chữ nhật kép.

Cứ mỗi lần ghép thêm hình chữ nhật $4\times 2n $ thì có thể bớt đi 1 hcn đơn của phần đã có và thêm vào $3 $ hcn đơn mới. Như vậy khi thêm $4 $ hàng thì số hcn đơn tăng lên $2 $. Do đó kết quả là $2008/2 + 2 = 1006 $.

Đó chỉ là một quan sát thôi, còn kết quả thực tế chắc là nhỏ hơn $1006 $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Traum]

Con số này chắc là tối ưu đấy, cách lát hình $4 \times 2n $ như thế nào nhỉ? Bạn viết rõ hơn được không?

Dưới đây là cách lát cho hình $16\times 10 $, cho hình $4m\times 2n $ thì cứ kéo dài theo chiều ngang và dọc là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[shinomoriaoshi]

có ai có đề thi hồi sáng không, cho xin với, cần gấp, cảm ơn nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pte.alpha]

Đề ngày 2. Đề này chỉ nghe nói qua điện thoại, có thể còn chưa chính xác.

Bài 4. (6 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $16(a+b+c) \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b} + \frac{1}{c} $. Chứng minh rằng
$ \sum_{cyclic}{\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}} \le \frac{8}{9} $.

Bài 5. (7 điểm) Có n nước, mỗi nước có k đại diện (n > k > 1). Người ta chia n.k người này thành n nhóm mỗi nhóm có k người sao cho không có 2 người cùng nhóm đến từ 1 nước. Chứng minh rằng có thể chọn ra n người đến từ các nhóm khác nhau và đến từ các nước khác nhau.

Bài 6. (7 điểm) Gọi $S_n $ là tổng bình phương các hệ số trong khai triển của $(1+x)^n $. Chứng minh rằng $S_{2n} + 1 $ không chia hết cho 3.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[pte.alpha]

Dưới đây là cách lát cho hình $16\times 10 $, cho hình $4m\times 2n $ thì cứ kéo dài theo chiều ngang và dọc là xong.

Đáp số 1006 là đúng rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Talent]

u.

Bài 6. Gọi $S_n $ là tổng bình phương các hệ số trong khai triển của $(1+x)^n $. Chứng minh rằng $S_{2n} + 1 $ không chia hết cho 3.

Có thể thấy rằng nếu n có biểu diễn trong cơ số 3 là $\sum_{k=0}^m a_k.3^k $ thì tổng bình phương các hệ số kia sẽ đồng dư với $(a_m+1)...(a_0+1) $, đó cũng chính là số các hệ số mà ko chia hết cho 3 (ở đây chú ý là $3|x^2-1 $ với mọi x nguyên tố cùng nhau với 3.
Quay lại bài toán, nếu có a_k =2 thì kết quả hiển nhiên đúng. Ta xét biểu diễn mà chỉ có 0 và 1. Gọi số các số bằng 1 là k thì k chẵn và hơn nữa $ (a_m+1)..(a_0+1)+1 \equiv 2^k+1=2 (\mod 3) $
Đến đây thì kết thúc bài toán.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[can_hang2008]

Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $16(a+b+c) \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b} + \frac{1}{c} $. Chứng minh rằng
$ \sum_{cyclic}{\frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}} \le \frac{8}{9} $.

Bài bất đẳng thức năm nay khá dễ ăn.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
$a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}} \ge 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(a+c)}{2}}, $
suy ra
$ \frac{1}{\left( a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3} \le \frac{2}{27(a+b)(a+c)}. $
Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ra
$\sum \frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3} \le \frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}. $
Hơn nữa, ta lại có $(a+b)(b+c)(c+a) \ge \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}. $ Vì vậy,
$\sum \frac{1}{\left( a+b+\sqrt{2(a+c)}\right)^3} \le \frac{1}{6(ab+bc+ca)}. $ (1)
Bây giờ, sử dụng bất đẳng thức cơ bản $(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c), $ ta suy ra
$16(a+b+c) \ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \ge \frac{3(a+b+c)}{ab+bc+ca}, $
tức
$ab+bc+ca \ge \frac{3}{16}. $ (2)
Kết hợp (1) và (2), ta có ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{4}. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Traum]

Bài tổ hợp 5 thì chính là một trường hợp đặc biệt của định lí Hall trong Graph Theory.

Ta gọi một nước $X $ và một nhóm $Y $ có liên hệ với nhau nếu trong nhóm $Y $ có người của nước $X $. Khi đó ta có nước $X $ bất kì có liên hệ với đúng $k $ nhóm và một nhóm $Y $ bất kì có liên hệ với đúng $k $ nước khác nhau.
Khi đó một hợp $m $ nước bất kì thì sẽ có liên hệ với một hợp ít nhất $m.k/k = m $ nhóm khác nhau. Do đó theo định lý Hall thì sẽ có cách ghép $n $ nước với $n $ nhóm mà không có hai nước nào cùng liên hệ với một nhóm. ( chính là cách chọn ra $n $ người từ $n $ nước khác nhau và từ $n $ nhóm khác nhau).

Nếu không dùng định lý Hall thì có thể chứng minh bằng quy nạp theo kiểu định lý đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nhím]

Chắc có người trúng tủ bài này, vì bài này cổ điển quá, bao nhiêu sách, báo đã có in bài này rồi. Báo Toán học tuổi trẻ cũng đăng bài này rồi.

Bài tổ hợp 5 thì chính là một trường hợp đặc biệt của định lí Hall trong Graph Theory.
Ta gọi một nước $X $ và một nhóm $Y $ có liên hệ với nhau nếu trong nhóm $Y $ có người của nước $X $. Khi đó ta có nước $X $ bất kì có liên hệ với đúng $k $ nhóm và một nhóm $Y $ bất kì có liên hệ với đúng $k $ nước khác nhau.
Khi đó một hợp $m $ nước bất kì thì sẽ có liên hệ với một hợp ít nhất $m.k/k = m $ nhóm khác nhau. Do đó theo định lý Hall thì sẽ có cách ghép $n $ nước với $n $ nhóm mà không có hai nước nào cùng liên hệ với một nhóm. ( chính là cách chọn ra $n $ người từ $n $ nước khác nhau và từ $n $ nhóm khác nhau).

Nếu không dùng định lý Hall thì có thể chứng minh bằng quy nạp theo kiểu định lý đó.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.v.thanh]

ngày 1 khtn anh Rực làm hết sạch....không biết ngày 2 thế nào đây....vòng nào cũng có 1 bài gần như ""tặng"" điểm....
mấy bài còn lại ???
tham khảo định lý HALL [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[newbie]

Nhận xét chủ quan là mình thấy đề năm ngoái hay và khó hơn năm nay
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[modular]

Các tv MS khiếp quá! Đề vừa mang lên đã bị tơi tả rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]