Đề thi IMO 2011

[novae]

Ngày 1

Bài 1. Cho một tập [M]A =\{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\}[/M] gồm 4 số nguyên dương phân biệt. Ký hiệu tổng [M]a_1+a_2+a_3+a_4[/M] bởi $s_A $. Đặt [M]n_A[/M] là số các cặp [M](i;j)[/M] với [M]1\leq i < j\leq 4[/M] và [M]a_i+a_j[/M] chia hết [M]s_A[/M]. Tìm tất cả các tập [M]A[/M] sao cho [M]n_A[/M] đạt giá trị lớn nhất có thể.

Bài 2. Một tập hữu hạn [M]S[/M] gồm ít nhất 2 điểm trên mặt phẳng. Giả sử không có 3 điểm nào của [M]S[/M] thẳng hàng. Một cối xay gió là một quá trình bắt đầu với một đường thẳng [M]\ell[/M] đi qua một điểm duy nhất [M]P\in S[/M]. Đường thẳng quay theo chiều kim đồng hồ quanh [M]P[/M] cho đến khi gặp một điểm khác cũng thuộc [M]S[/M]. Điểm mới này, [M]Q[/M], là trục quay mới, và đường thẳng [M]\ell[/M] tiếp tục quay theo chiều kim đồng hồ đến khi gặp một điểm khác của [M]S[/M]. Quá trình này lặp lại vô hạn lần.
Chứng minh rằng ta có thể chọn một điểm [M]P \in S[/M] và đường thẳng [M]\ell[/M] đi qua [M]P[/M] sao cho mỗi điểm của [M]S[/M] được sử dụng làm trục quay vô hạn lần.

Bài 3. Cho [M]f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/M] thỏa mãn

[M]f(x+y)\leq yf(x)+f(f(x))[/M]

với mọi số thực [M]x,y[/M]. Chứng minh rằng [M]f(x)=0 \; \forall x \le 0[/M]

-------------------------------------------------------------------------

Ngày 2

Bài 4

Giả sử [M]n > 0[/M] là một số nguyên. Cho một cái cân hai đĩa và [M]n[/M] quả cân với trọng lượng là [M]{2^0}, {2^1}, ..., {2^{n - 1}}[/M]. Ta muốn đặt lên cái cân mỗi một trong [M]n[/M] quả cân, lần lượt từng quả một, theo cách để bảo đảm đĩa cân bên phải không bao giờ nặng hơn đĩa cân bên trái. Ở mỗi bước ta chọn một trong các quả cân chưa được đặt lên cân, rồi đặt nó hoặc vào đĩa bên trái, hoặc vào đĩa bên phải, cho đến khi tất cả các quả cân đều đã được đặt lên cân. Xác định xem có bao nhiêu cách để thực hiện được mục đích đề ra.

Bài 5

Cho hàm [M]f :\mathbb Z\rightarrow \mathbb Z_+[/M].Giả sử rằng với hai số nguyên [M]m, n[/M] bất kì, hiệu [M]f(m)-f(n )[/M] chia hết cho [M]f(m-n).[/M]
Chứng minh rằng với mọi số nguyên [M]m, n[/M] thỏa mãn [M]f(m)\leq f(n)[/M], thì ta có [M]f(n)[/M] chia hết cho [M]f(m)[/M]

Bài 6
Cho tam giác nhọn [M]ABC[/M] nội tiếp đường tròn [M]\Gamma[/M]. Gọi [M]l[/M] là tiếp tuyến tới [M]T[/M], và [M]l_a, l_bl, l_c[/M] là các đường thẳng đối xứng với [M]l[/M] qua [M]BC, CA, AB[/M] tương ứng.Chứng tỏ rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác xác định bởi [M]l_a, l_b, l_c[/M] tiếp xúc với đường tròn [M]\Gamma[/M].


Thảo luận tại [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]