Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Đại Số và Lượng Giác > Các Bài Toán Đã Được Giải

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 26-12-2010, 02:18 PM   #1
babylong
+Thành Viên+
 
babylong's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2010
Bài gởi: 24
Thanks: 95
Thanked 41 Times in 6 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới babylong
Chứng minh bất đẳng thức

Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3
CmR : $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(4-\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{c^{2}}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
babylong is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-12-2010, 06:45 PM   #2
leviethai
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2008
Đến từ: Thành phố Hồ Chí Minh. Nhưng quê tôi là Ninh Bình.
Bài gởi: 513
Thanks: 121
Thanked 787 Times in 349 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới leviethai
Trích:
Nguyên văn bởi babylong View Post
Cho a,b,c > 0 và a+b+c=3
CmR : $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(4-\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{c^{2}}) $
Bài này sẽ dễ giải hơn nếu chúng ta đã làm 2 bài toán sau

Trích:
Bài toán 1. Cho $a,b,c $ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca. $
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\ge3a $.

Làm tương tự 2 cái còn lại, cộng lại, ta được
$2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+a^2+b^2+c^2\ge 3(a+b+c)=(a+b+c)^2 $

Lại có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca $.

Từ đây dễ dàng suy ra điều phải chứng minh. $\hfill \Box $

Trích:
Bài toán 2. Cho $a,b,c $ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2 $.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $
$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a +b+c}{abc}=\dfrac{3}{abc} $.

Ta cần chứng minh $abc(a^2+b^2+c^2) $.

Áp dụng AM-GM và bất đẳng thức quen thuộc $3abc(a+b+c)\le(ab+bc+ca)^2 $

$abc(a^2+b^2+c^2)\le\dfrac{(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2 )}{9}\le\dfrac{1}{9}(\dfrac{ab+bc+ca+ab+bc+ca+a^2+ b^2+c^2}{3})^3=3 $.

Ta có điều phải chứng minh.$\hfill \Box $


Trở lại với bài toán ban đầu. Áp dụng 2 bất đẳng thức vừa mới chứng minh. Ta có
$(a^2+b^2+c^2)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac {1}{c^2})+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge(a^2+b^2+c^ 2)^2+ab+bc+ca $
Đặt $x=a^2+b^2+c^2 $, khi đó dễ dàng có $x\ge 3 $ và $ab+bc+ca=\dfrac{9-x}{2} $. Như vậy ta chỉ cần chứng minh
$x^2+\dfrac{9-x}{2}\ge 4x $
Tương đương với $(x-3)(2x-3)\ge 0 $ (đúng do $x\ge 3 $).
Ta có điều phải chứng minh. $\hfill \Box $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
leviethai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to leviethai For This Useful Post:
babylong (26-12-2010), jakelong (30-12-2010), MathForLife (26-12-2010), Unknowing (26-12-2010)
Old 26-12-2010, 07:48 PM   #3
MathForLife
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Đến từ: CT force
Bài gởi: 731
Thanks: 603
Thanked 425 Times in 212 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi leviethai View Post
Trích:
Bài toán 2. Cho $a,b,c $ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \ge a^2+b^2+c^2 $
Đây là đề thi Romania TST năm 2006.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
MathForLife is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-12-2010, 08:09 PM   #4
Evarist Galois
+Thành Viên+
 
Evarist Galois's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2009
Đến từ: Từ A0 đến FTU
Bài gởi: 320
Thanks: 57
Thanked 180 Times in 95 Posts
Các mở rộng cho BDT này:
Cho 3 số $a,b,c>0 $ thỏa mãn $a+b+c=3 $. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3} \ge a^3+b^3+c^3 $
$\frac{1}{a^5}+\frac{1}{b^5}+\frac{1}{c^5} \ge a^5+b^5+c^5 $
Mời anh em
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Evarist Galois is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-09-2021, 10:03 AM   #5
nanasiglm9
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2021
Bài gởi: 2
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Chủ đề rất ý nghĩa
------------------------------
Chính Chủ Bán Khách Sạn Mặt Phố Phan Kế Bính, Hà Nội, 90m2, 6 Tầng, Mặt Tiền 7m, Giá Rất Rẻ

Ngôi nhà có diện tích đất là 91m2, mặt tiền 7,1m, rất vuông vắn rất đẹp. Trên đất có ngôi nhà 6,5 tầng, 1 tum khung bê tông rất vững chắc, trang bị thang máy tốc độ cao nhập khẩu rất vip. Lề đường trước nhà rộng 7m, phố rộng 17m, rất đông đúc, kinh doanh mọi loại mô hình. Rất phù hợp làm khách sạn, cho thuê văn phòng hoặc kết hợp vừa ở đều rất tuyệt vời.

Ngôi nhà hiện đang khai thác rất được giá, có thể chuyển nhượng hợp đồng thuê cho chủ mới.

Sổ đỏ 1 chủ, pháp lý minh bạch, sang tên vô cùng thuận lợi. Đầy đủ giấy phép kinh doanh khách sạn, pccc.

Giá bán: Chỉ 3x tỷ. Rất rẻ so với khu vực.

Thông tin chi tiết mời gọi: Mr.Hưng: 0936.355.355

Quý Khách có thể xem nhiều nhà khác tại đây:



Cần Bán Khách Sạn Mặt Phố Phan Kế Bính, Cống Vị, 91m2, 7 Tầng, Mặt Tiền 6,9m, Giá Rẻ


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: nanasiglm9, 10-09-2021 lúc 10:06 AM Lý do: Tự động gộp bài
nanasiglm9 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:50 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2021, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 57.81 k/64.36 k (10.18%)]