đề thi thử VMO của trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Khánh Hòa

[quocbaoct10]

Bài 1: tìm tất cả các hàm số $\f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:
$f(x+y)=f(x)f(y)f(xy)$ với mọi $x,y \in \mathbb{R}$.
Bài 2: trong 1 cuộc thi có $a$ thí sinh và $b$ giám khảo, trong đó $b \ge 3$ và $b$ là số nguyên lẻ. Mỗi giám khảo đánh giá "đạt" hoặc "trượt". Giả sử rằng với hai giám khảo bất kì, họ đánh giá giống nhau tối đa $k$ thì sinh. Chứng minh rằng:
$\frac{k}{a} \ge \frac{b-1}{2b}$.
Bài 3: Cho tập hợp $A=\{1,2,\ldots,2n\}$. Một tập con của $A$ được gọi là tập tốt nếu nó có chứa đúng hai phần tử $x,y$ thỏa mãn $|x-y|\in \{1,n\}$. Tìm số các tập hợp chứa các tập tốt $\{A_1,A_2,...A_n\}$ của $A$ thỏa mãn $A_1\bigcup A_2 \bigcup ...\bigcup A_n =A$.
Bài 4: Cho 3 đường tròn phân biệt tâm $(O_1), (O_2), (O_3)$ với bán kính đôi một khác nhau. gọi $A$ là tâm vị tự của đường tròn $(O_1)$ với $(O_2)$, $B$ là tâm vị tự của đường tròn $(O_2)$ với $(O_3$, $C$ là tâm vị tự của đường tròn $(O_3)$ với $(O_1)$. chứng minh rằng nếu có 2 tâm vị tự trong và 1 tâm vị tự ngoài hoặc cả 3 đều là tâm vị tự ngoài thì $A,B,C$ thẳng hàng.

đáp án câu 3 là: $S_n= \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n+1}]+\frac{1^n-(-1)^n}{2} \forall n \ge 2\\1 \forall n=1\end{cases}$ hay là $S_{2k}=F_{2k+1}, S_{2k+1}=F_{2k+2}+1$ với $F_{k}$ là số Fibonacci thứ $k$

mấy bác bá đạo đừng chê trường em ra dễ , nhiều học sinh lớp 11 chưa được tiếp xúc nhiều với toán tổ hợp nên làm đề này chật vật lắm. Riêng em thì bỏ câu hình (nghe mấy đứa bạn nói Menelaus mấy dòng là xong) và thiếu nghiệm PTH

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoangqnvip]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Bài 2: trong 1 cuộc thi có $a$ thí sinh và $b$ giám khảo, trong đó $b \ge 3$ và $b$ là số nguyên lẻ. Mỗi giám khảo đánh giá "đạt" hoặc "trượt". Giả sử rằng với hai giám khảo bất kì, họ đánh giá giống nhau tối đa $k$ thì sinh. Chứng minh rằng:
$\frac{k}{a} \ge \frac{b-1}{2b}$.

Đây là bài IMO 1998, sử dụng đếm bằng hai cách để giải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nguyên văn bởi hoangqnvip

Đây là bài IMO 1998, sử dụng đếm bằng hai cách để giải

với mấy đứa nghiện tổ hợp thì câu này quá ư là quen thuộc . Mọi người xem giúp em câu hình với ạ, em cay nó quá.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoca]

Nguyên văn bởi quocbaoct10

với mấy đứa nghiện tổ hợp thì câu này quá ư là quen thuộc . Mọi người xem giúp em câu hình với ạ, em cay nó quá.

Câu hình đúng là dùng menela là xong ngay ấy mà, giả sử 2 tâm vị tự trong ấy là A và B, còn tâm vị tự ngoài là C, thì $\frac{AO_1}{AO_2)$$=$$\frac {R_1}{R_2}$

có cái độ dài đại số nữa mà không biết gõ latex

tương tự có 2 cái kia nhân lại nữa ấy
------------------------------

Nguyên văn bởi quocbaoct10

Bài 1: tìm tất cả các hàm số
Bài 3: Cho tập hợp $A=\{1,2,\ldots,2n\}$. Một tập con của $A$ được gọi là tập tốt nếu nó có chứa đúng hai phần tử $x,y$ thỏa mãn $|x-y|\in \{1,n\}$. Tìm số các tập hợp chứa các tập tốt $\{A_1,A_2,...A_n\}$ của $A$ thỏa mãn $A_1\bigcup A_2 \bigcup ...\bigcup A_n =A$.

Xét bảng hình chữ nhật $2*n$, được chia thành các ô đơn vị.ta thực hiện các bước lát kín bảng bởi các quân domino $1*2$( không có 2 quân nào đè lên nhau, và với n lẻ thì được lát thêm viên $(n,n+1))$ nếu cần. số cách lát chính bằng số các tập hợp ta cần đếm. đếm bằng truy hồi giống bạn quocbao ấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nguyên văn bởi hoca

Câu hình đúng là dùng menela là xong ngay ấy mà, giả sử 2 tâm vị tự trong ấy là A và B, còn tâm vị tự ngoài là C, thì $\frac{AO_1}{AO_2)= \frac {R_1}{R_2}$

có cái độ dài đại số nữa mà không biết gõ latex

tương tự có 2 cái kia nhân lại nữa ấy
------------------------------

Xét bảng hình chữ nhật $2*n$, được chia thành các ô đơn vị.ta thực hiện các bước lát kín bảng bởi các quân domino $1*2$( không có 2 quân nào đè lên nhau, và với n lẻ thì được lát thêm viên $(n,n+1))$ nếu cần. số cách lát chính bằng số các tập hợp ta cần đếm. đếm bằng truy hồi giống bạn quocbao ấy

cho mình hỏi là áp dụng Mene vào tam giác nào. Bước chuyển đổi giả thiết của bài 3 rất quan trọng, không có là coi như phần sau 0 điểm .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Bài hàm trông chắc chỉ có hàm hằng thôi nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Nguyên văn bởi 5434

Bài hàm trông chắc chỉ có hàm hằng thôi nhỉ

3 nghiệm là 0;1;-1 anh à. Nhưng mà 1;-1 là 2 nghiệm khó chứng minh

ngồi cả giờ không ra

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Sư dụng thử biến đổi này xem $f(x+y+z)=f(x)f(y+z)f(xy+xz)=f(x)f(y)f(z)f(xy)f(yz) f(zx)f(x^{2}yz) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Fool's theorem]

Ta có thể g/s $f(x)$ khác $0 \forall x$ thực ( nếu có $f(x_0)=0$ thì dễ thấy $f(x)=0 \forall x$ )
$f(x+y+z)=f(x)f(y+z)f(xy+xz)=f(x)f(y)f(z)f(xy)f(yz )f(zx)f(x^{2}yz)$
Đổi vị trí $x$ và $y$ ta có $f(x^{2}yz)=f(y^{2}xz)$ từ đây dễ thấy $f$ là hàm hằng
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toansocaplqd]

Bài 4 chính là định lý Monge D' Alembert
Đây là 1 file về định lý đó của anh Nguyễn Văn Linh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toansocaplqd]

Bạn có thể nói rõ bài 2 và bài 3 không ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[5434]

Bài 2 là IMO năm bao nhiêu đó ( không nhớ) Bạn lên google search file này

Counting in Two Ways - Yufei Zhao

mà coi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]