Đề thi HSG Olympic 27/4 năm 2014 BRVT

[k30101201]

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 KHỐI 11 NĂM 2014
Bài 1.
1. Giải phương trình $2\cos^2x(1+\cot x)-2\sin^2x+1=0 $
2. Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức $\cos2A+\sqrt{2}(\cos2B+\cos2C)+2=0 $
Bài 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau và tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng ba chữ số sau 1 đơn vị.
Bài 3.
1. Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân được vuông góc hạ từ O đến (ABC).
a) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC.
b) Chứng minh rằng $a.S_{HBC}+b.S_{HAC}+c.S_{HAB}\leq\frac{abc\sqrt{3} }{2} $
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=2CD=2AD, SA vuông góc với đáy tại A. Gọi M là trung điểm của SC, K là điểm di động trên AB. Tìm tập hợp hình chiếu của H của M lên CK.
Bài 4.
1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(x_n) $ xác định bởi $x_1=2015,x_{n+1}=(1-\frac{1}{(n+1)^2})x_n+\frac{2014}{(n+1)^2} $
2. Cho dãy số $(x_n) $ xác định bởi $x_1=1,x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+\frac{2n+1}{3^n}} $. Tính giới hạn dãy số $(x_n) $
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số $f:R\to R $ thỏa mãn điều kiện $f(x-f(y))=f(x+f(y))+4f(x) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranhongviet]

Hướng làm câu 4:
1) đặt $x_{n}=(1-\frac{1}{n^{2}})(1-\frac{1}{(n-1)^{2}})(....)(1-\frac{1}{2^{2}}.y_{n}) $
(dạng trên có thể biết gọn lại ) thay vào CT truy hồi . Sau đó cộng vế với vế các biểu thức thu được thì ra đc CTTQ $y_{n} $ rồi ra $x_{n} $
2) BP 2 vế ta đc :$x^{2}_{n+1}=x^{2}_{n}+\frac{2n+3}{3^{n}} $
đặt $x^{2}_{n}=y_{n} $
ta được $y_{n+1}=y_{n}+\frac{2n+1}{3^{n}} $
dùng sai phân ta có đc:
$y_{n+1}-\frac{-3n-6}{3^{n+1}}=y_{n}-\frac{-3n-3}{3^{n}} $
đến đây lùi là ok
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaibinh]

Nguyên văn bởi tranhongviet

Hướng làm câu 4:
1) đặt $x_{n}=(1-\frac{1}{n^{2}})(1-\frac{1}{(n-1)^{2}})(....)(1-\frac{1}{2^{2}}.y_{n}) $
(dạng trên có thể biết gọn lại ) thay vào CT truy hồi . Sau đó cộng vế với vế các biểu thức thu được thì ra đc CTTQ $y_{n} $ rồi ra $x_{n} $
2) BP 2 vế ta đc :$x^{2}_{n+1}=x^{2}_{n}+\frac{2n+3}{3^{n}} $
đặt $x^{2}_{n}=y_{n} $
ta được $y_{n+1}=y_{n}+\frac{2n+1}{3^{n}} $
dùng sai phân ta có đc:
$y_{n+1}-\frac{-3n-6}{3^{n+1}}=y_{n}-\frac{-3n-3}{3^{n}} $
đến đây lùi là ok

Phần tìm $x_{n} $ có thể cụ thể hơn không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[giabao185]

Nguyên văn bởi k30101201

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 KHỐI 11 NĂM 2014


1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số $(x_n) $ xác định bởi $x_1=2015,x_{n+1}=(1-\frac{1}{(n+1)^2})x_n+\frac{2014}{(n+1)^2}(1) $

Đặt $ y_n=x_n-2014$
(1) thành:$y_{n+1}=y_n-\frac{1}{(n+1)^2}y_n=y_n.\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$
$\rightarrow y_n=\frac{n+1}{2n}$
$\rightarrow x_n=\frac{n+1}{2n}+2014$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tvthuongvt]

Nguyên văn bởi k30101201

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 KHỐI 11 NĂM 2014
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số $f:R\to R $ thỏa mãn điều kiện $f(x-f(y))=f(x+f(y))+4f(x) $

Bài 5 đề chính xác là $ f(x-f(y))=f(x+f(y))+4xf(y) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thaibinh]

Nguyên văn bởi giabao185

Đặt $ y_n=x_n-2014$
(1) thành:$y_{n+1}=y_n-\frac{1}{(n+1)^2}y_n=y_n.\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$
$\rightarrow y_n=\frac{n+1}{2n}$
$\rightarrow x_n=\frac{n+1}{2n}+2014$

Có thể chi tiết hơn khi tìm ra $y_{n} $ được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[k30101201]

Nguyên văn bởi giabao185

Đặt $ y_n=x_n-2014$
(1) thành:$y_{n+1}=y_n-\frac{1}{(n+1)^2}y_n=y_n.\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}$
$\rightarrow y_n=\frac{n+1}{2n}$
$\rightarrow x_n=\frac{n+1}{2n}+2014$

nhầm rồi bạn ơi phải lả $ y_n=x_n+2014$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phamvanhuy]

Bài 5: Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện: $$f(x-f(y))=f(x+f(y))+4xf(y)$$
Lời giải:
Từ điều kiện dễ thấy hàm $f(x)=0$ thoả yêu cầu.
Gỉa sử $f(x) \not\equiv 0$, từ điều kiện thay $f(y)$ bởi $x$ ta được:
$$f(0)=f(2x)+4x^{2}$$
$$\Leftrightarrow f(2x)= f(0) - (2x)^{2}$$
$$\Rightarrow f(x)=a-x^{2}$$ trong đó $a= f(0)$
Thử lại, thấy hàm $f(x)= a-x^{2}$ thoả.
Vậy, tất cả các hàm số cần tìm là $f(x) =0,\forall x \in \mathbb{R} $; $f(x)=a-x^{2},\forall x \in \mathbb{R} $ trong đó $a$ là số tuỳ ý
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[giabao185]

Nguyên văn bởi phamvanhuy

Bài 5: Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện: $$f(x-f(y))=f(x+f(y))+4xf(y)$$
Lời giải:
Từ điều kiện dễ thấy hàm $f(x)=0$ thoả yêu cầu.
Gỉa sử $f(x) \not\equiv 0$, từ điều kiện thay $f(y)$ bởi $x$ ta được:
$$f(0)=f(2x)+4x^{2}$$
$$\Leftrightarrow f(2x)= f(0) - (2x)^{2}$$
$$\Rightarrow f(x)=a-x^{2}$$ trong đó $a= f(0)$
Thử lại, thấy hàm $f(x)= a-x^{2}$ thoả.
Vậy, tất cả các hàm số cần tìm là $f(x) =0,\forall x \in \mathbb{R} $; $f(x)=a-x^{2},\forall x \in \mathbb{R} $ trong đó $a$ là số tuỳ ý

Sai rùi bạn ơi .Ta chỉ có thể thay x=1 cái zì đó chứ đâu có dc thay f(y)=? được dâu bạn vì bạn đã áp đặt f(y)=? rùi thì còn tìm zì nữa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranphongk33]

Nguyên văn bởi k30101201

ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 KHỐI 11 NĂM 2014
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số $f:R\to R $ thỏa mãn điều kiện $f(x-f(y))=f(x+f(y))+4xf(y) $

Một nghiệm của phương trình là $f(x)=0$. Xét $f(x)\ne 0$.
Ta có phương trình đã cho tương đương
$$f(x-f(y))+(x-f(y))^2=f(x+f(y))+(x+f(y))^2$$
Đặt: $u=x-f(y),v=x+f(y)$ thì ta có $u,v\in\mathbb R$.
Và từ trên ta có: $f(u)+u^2=f(v)+v^2, \forall u,v\in\mathbb R$.
Suy ra: $f(x)+x^2=a$ với $a$ là hằng số.
Hay $f(x)=-x^2+a$.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $f(x)=0\ \vee f(x)=-x^2+a$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tritructq]

Sao mình không đọc được đề nhỉ?
------------------------------
Bạn gửi lại đề được không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[King of Maths]

Sao đề không thấy gì vậy ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huy230499]

Nguyên văn bởi phamvanhuy

Bài 5: Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện: $$f(x-f(y))=f(x+f(y))+4xf(y)$$
Lời giải:
Từ điều kiện dễ thấy hàm $f(x)=0$ thoả yêu cầu.
Gỉa sử $f(x) \not\equiv 0$, từ điều kiện thay $f(y)$ bởi $x$ ta được:
$$f(0)=f(2x)+4x^{2}$$
$$\Leftrightarrow f(2x)= f(0) - (2x)^{2}$$
$$\Rightarrow f(x)=a-x^{2}$$ trong đó $a= f(0)$
Thử lại, thấy hàm $f(x)= a-x^{2}$ thoả.
Vậy, tất cả các hàm số cần tìm là $f(x) =0,\forall x \in \mathbb{R} $; $f(x)=a-x^{2},\forall x \in \mathbb{R} $ trong đó $a$ là số tuỳ ý

bạn làm dc bài 2 chưa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trantrikien239]

Bài phương trình hàm cả 2 bạn trên đều ngộ nhận rằng f toàn ánh rồi! Thực tế ta chưa chứng minh được f toàn ánh mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]