Olimpiad Sant-Peterburg 2010 môn toán lớp 11 - Phần 1

[asimothat]

[Only registered and activated users can see links. ] Xếp vào bảng 3*3 các số từ 15 đến 23 sao cho tổng của 2 số ở 2 ô kề nhau là khác nhau .

Hai ô vuông có 1 cạnh chung được gọi là 2 ô kề nhau .

[Only registered and activated users can see links. ] Các số $a, b, c (0<a <b <c < \Pi) $ tạo thành một cấp số cộng .Chứng minh phương trình bậc 2
$(sina)x^2+2(sinb)x+sinc=0 $ có 2 nghiệm thực phân biệt .


[Only registered and activated users can see links. ]
Hai số tự nhiên x và y nhỏ hơn 4 000 000. Dima chia 2x+1 cho 2009 được số dư ; Cawa chia 2y-1 cho 2010 được số dư ; Cepeda chia x+y cho 4019 được số dư . Tất cả сác số dư này bằng nhau . Chứng minh phần thương mà Dima và Cawa có bằng nhau .

[Only registered and activated users can see links. ]
Trên thiên đường có 3 cây gỗ. Nếu trôn một số vàng dưới gốc 1 trong số chúng , thì sáng hôm sau tổng số vàng tăng gấp đôi, nếu dưới cây khác tăng gấp 3 , nếu dưới cây thứ 3 thì biến mất . Bupa có 100 đồng vàng . Anh không biết là từ cây sẽ làm số vàng của anh tăng gấp đôi , tăng gấp 3 và mất đi . Hỏi số tiền lớn nhất mà anh có thể nhận được vào sáng hôm sau ?

[Only registered and activated users can see links. ]
Cho hình hộp$ ABCDA_1B_1C_1D_1 $ . Trong tám giác ABC chọn điểm P , và trong hình bình hành $ACC_1A_1 $ chọn điểm K sao cho : đường thẳng PK song song với mặt phẳng ACD . Chứng minh mặt phẳng $ACB_1 $ chia đoạn thẳng PK làm 2 phần bằng nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]