|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
31-07-2011, 10:27 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Bài gởi: 46 Thanks: 6 Thanked 52 Times in 20 Posts | Đề thi IMC 2011, ngày thứ 2 (31/7/2011) Các bài toán trong ngày thi thứ 2 (31/7/2011) IMC 2011 Bài 1. Cho dãy số $({a_n}) \subset \left( {\frac{1}{2},1} \right) $. Định nghĩa dãy số $x_0=0 $, ${x_{n + 1}} = \frac{{{a_{n + 1}} + {x_n}}}{{1 + {a_{n + 1}}{x_n}}} $. Hỏi dãy này có hội tụ hay không ? Nếu hội tụ hãy tìm giới hạn của nó. Bài 2. Một chủng tộc người ngoài hành tinh có ba giới tính: nam, nữ và emale. Một bộ ba kết hôn gồm ba người, mỗi giống đều thích hai giống còn lại. Bất kỳ người nào đều thuộc nhiều nhất một bộ ba kết hôn. Cảm xúc giữa hai giống luôn luôn tương tác lẫn nhau (nếu $x $ thích $y $ thì $y $ cũng thích $x $). Chủng tộc đó muốn di cư đến một hành tinh và đưa $n $ nam, $n $ nữ và $n $ emale. Mỗi người trong đoàn di cư đều thích ít nhất $k $ người thuộc hai giống khác. Vấn đề là tạo ra nhiều bộ ba kết hôn để có thể tăng trưởng được.
Bài 3. Tính $\sum\limits_{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right) $ Bài 4. Cho $f $ là một đa thức hệ số thực, có bậc $n $. Giả sử $\frac{{f(x) - f(y)}}{{x - y}} $ là một số nguyên với mọi $0 \le x < y \le n $. Chứng minh rằng $\left. {a - b} \right|f(a) - f(b) $ với mọi số nguyên $a,b $. Bài 5. Cho $F=A_1A_2...A_n $ là một đa giác lồi. Với mỗi $1\le k\le n-1 $ ta định nghĩa phép biến hình $f_k $ bằng cách thay thế $F $ bởi một đa giác mới ${f_k}(F) = {A_0}{A_1} \ldots {A_k}{A'_k}{A_{k + 1}} \ldots {A_n} $ trong đó ${A'_k} $ là điểm đối xứng của ${A_k} $ qua đường trung trực của đoạn $A_{k-1}A_{k+1} $. Chứng minh rằng ${\left( {{f_1} \circ {f_2} \circ {f_3} \circ \ldots \circ {f_{n - 1}}} \right)^n}\left( F \right) = F $. |
01-08-2011, 06:34 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 570 Thanks: 24 Thanked 537 Times in 263 Posts | Bài 4. Cho $f $ là một đa thức hệ số thực, có bậc $n $. Giả sử $\frac{{f(x) - f(y)}}{{x - y}} $ là một số nguyên với mọi $0 \le x < y \le n $. Chứng minh rằng $\left. {a - b} \right|f(a) - f(b) $ với mọi số nguyên $a,b $. Từ giả thiết ta có $i-j|f(i)-f(j) $ với mọi $i\neq j; 0\le i,j\le n $ (1). Do đa thức $f $ có bậc bằng $n $ nên ta có thể viết: $f(x)-f(0)=a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)(x-2)+...+a_n(x-1)(x-2)...(x-n) $ (2). TRong (2) thay $x=1 $ thì ta được $a_0=f(1)-f(0) $, kết hợp với (1) suy ra $a_0 $ nguyên. TRong (2) thay $x=2 $ thì ta được $a_1=f(2)-f(0)-a_0 $, kết hợp với (1) suy ra $a_1 $ nguyên. .......... suy ra $a_i $ nguyên với mọi $i=0,1,...,n $. Từ đó đa thức $f(x) $ có hệ số đều là số nguyên nên suy ra $\left. {a - b} \right|f(a) - f(b) $ với mọi số nguyên $a,b $. ------------------------------ Bài 3. Tính $\sum\limits_{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right) $ Sử dụng bất đẳng thức cơ bản sau: Với mọi $x>0 $ ta có: $\frac{x}{1+x}<\ln{1+x}<x $. Khi đó: $\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n+1)(2n+1)(2n+2)}}<\sum\limits _{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right)<\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n)(2n)(2n+1)}} $ $\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n)(2n)(2n+1)}}=\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n)(2n)}}-\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{2}{(2n)(2n+1)}}. $ Sử dụng đẳng thức: $\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6} $ thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 01-08-2011 lúc 06:54 AM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following User Says Thank You to ThangToan For This Useful Post: | n.v.thanh (01-08-2011) |
01-08-2011, 10:20 AM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 993 Thanks: 273 Thanked 666 Times in 422 Posts | Câu 1: Ta chứng minh được $(x_n) $ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $1 $. Giới hạn: $\boxed{\lim {x_n}=1} $ __________________ $\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________ |
The Following User Says Thank You to tuan119 For This Useful Post: | n.v.thanh (01-08-2011) |
01-08-2011, 02:05 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Bài gởi: 46 Thanks: 6 Thanked 52 Times in 20 Posts | Trích:
Mà chuỗi $\sum\limits_{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} $ phân kỳ ??? thay đổi nội dung bởi: math213, 01-08-2011 lúc 02:08 PM | |
The Following User Says Thank You to math213 For This Useful Post: | n.v.thanh (01-08-2011) |
01-08-2011, 05:22 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 993 Thanks: 273 Thanked 666 Times in 422 Posts | Câu 3: Ta có: ${\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right) $ $=\ln (\frac{n+1}{n})(\frac{2n+1}{2n})(\frac{2n+2}{2n+1} )=\ln (\frac{n+1}{n})^2 $ $\implies T=\sum_{n=1}^{\infty}{\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right) $ $=\sum_{n=1}^{\infty}\ln (\frac{n+1}{n})^2=2\sum_{n=1}^{\infty}\ln (\frac{n+1}{n}) $ $\implies \frac{T}{2}=\sum_{n=1}^{\infty} (\ln (n+1)-\ln n) = \boxed{+\infty} $. __________________ $\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________ |
The Following User Says Thank You to tuan119 For This Useful Post: | n.v.thanh (01-08-2011) |
01-08-2011, 05:26 PM | #6 |
Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts | Câu 1. Tham khảo ở đây http://mathproblems123.wordpress.com...y-2-problem-1/ Câu 5 tham khảo ở đây http://mathproblems123.wordpress.com...y-2-problem-5/ __________________ “ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức” [Only registered and activated users can see links. ] thay đổi nội dung bởi: batigoal, 01-08-2011 lúc 05:29 PM |
The Following User Says Thank You to batigoal For This Useful Post: | n.v.thanh (01-08-2011) |
02-08-2011, 11:47 AM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 993 Thanks: 273 Thanked 666 Times in 422 Posts | Câu 3: Đề sai, vì tự nhiên thấy dễ quá! Đề đúng là: Tính: $\sum_{n=1}^\infty \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \ln \left( 1+\frac{1}{2n}\right) \ln \left( 1+\frac{1}{2n+1}\right) $ [Only registered and activated users can see links. ] __________________ $\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________ |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|