Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Thi HSG Cấp Quốc Gia

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 31-07-2011, 10:27 PM   #1
math213
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 46
Thanks: 6
Thanked 52 Times in 20 Posts
Đề thi IMC 2011, ngày thứ 2 (31/7/2011)

Các bài toán trong ngày thi thứ 2 (31/7/2011) IMC 2011

Bài 1. Cho dãy số $({a_n}) \subset \left( {\frac{1}{2},1} \right) $. Định nghĩa dãy số $x_0=0 $, ${x_{n + 1}} = \frac{{{a_{n + 1}} + {x_n}}}{{1 + {a_{n + 1}}{x_n}}} $. Hỏi dãy này có hội tụ hay không ? Nếu hội tụ hãy tìm giới hạn của nó.

Bài 2. Một chủng tộc người ngoài hành tinh có ba giới tính: nam, nữ và emale. Một bộ ba kết hôn gồm ba người, mỗi giống đều thích hai giống còn lại. Bất kỳ người nào đều thuộc nhiều nhất một bộ ba kết hôn. Cảm xúc giữa hai giống luôn luôn tương tác lẫn nhau (nếu $x $ thích $y $ thì $y $ cũng thích $x $).
Chủng tộc đó muốn di cư đến một hành tinh và đưa $n $ nam, $n $ nữ và $n $ emale. Mỗi người trong đoàn di cư đều thích ít nhất $k $ người thuộc hai giống khác. Vấn đề là tạo ra nhiều bộ ba kết hôn để có thể tăng trưởng được.
  • a) Chứng minh rằng nếu $n $ là chẵn và $k \geq \dfrac{n}{2} $ thì có thể không có bộ ba kết hôn.
  • b) Chứng minh rằng nếu $k \geq \dfrac{3n}{4} $ thì có thể tạo thành $n $ bộ ba kết hôn (tức là tất cả mọi người đều thuộc một bộ ba nào đó).

Bài 3. Tính
$\sum\limits_{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right) $

Bài 4. Cho $f $ là một đa thức hệ số thực, có bậc $n $. Giả sử $\frac{{f(x) - f(y)}}{{x - y}} $ là một số nguyên với mọi $0 \le x < y \le n $. Chứng minh rằng $\left. {a - b} \right|f(a) - f(b) $ với mọi số nguyên $a,b $.

Bài 5. Cho $F=A_1A_2...A_n $ là một đa giác lồi. Với mỗi $1\le k\le n-1 $ ta định nghĩa phép biến hình $f_k $ bằng cách thay thế $F $ bởi một đa giác mới ${f_k}(F) = {A_0}{A_1} \ldots {A_k}{A'_k}{A_{k + 1}} \ldots {A_n} $ trong đó ${A'_k} $ là điểm đối xứng của ${A_k} $ qua đường trung trực của đoạn $A_{k-1}A_{k+1} $. Chứng minh rằng ${\left( {{f_1} \circ {f_2} \circ {f_3} \circ \ldots \circ {f_{n - 1}}} \right)^n}\left( F \right) = F $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
math213 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 5 Users Say Thank You to math213 For This Useful Post:
Anh Khoa (31-07-2011), ghost95 (01-08-2011), kimlinh (01-08-2011), n.v.thanh (31-07-2011), tuan119 (01-08-2011)
Old 01-08-2011, 06:34 AM   #2
ThangToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Đến từ: THPT chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 570
Thanks: 24
Thanked 537 Times in 263 Posts
Bài 4. Cho $f $ là một đa thức hệ số thực, có bậc $n $. Giả sử $\frac{{f(x) - f(y)}}{{x - y}} $ là một số nguyên với mọi $0 \le x < y \le n $. Chứng minh rằng $\left. {a - b} \right|f(a) - f(b) $ với mọi số nguyên $a,b $.

Từ giả thiết ta có $i-j|f(i)-f(j) $ với mọi $i\neq j; 0\le i,j\le n $ (1).
Do đa thức $f $ có bậc bằng $n $ nên ta có thể viết:
$f(x)-f(0)=a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)(x-2)+...+a_n(x-1)(x-2)...(x-n) $ (2).
TRong (2) thay $x=1 $ thì ta được $a_0=f(1)-f(0) $, kết hợp với (1) suy ra $a_0 $ nguyên.
TRong (2) thay $x=2 $ thì ta được $a_1=f(2)-f(0)-a_0 $, kết hợp với (1) suy ra $a_1 $ nguyên.
.......... suy ra $a_i $ nguyên với mọi $i=0,1,...,n $. Từ đó đa thức $f(x) $ có hệ số đều là số nguyên nên suy ra $\left. {a - b} \right|f(a) - f(b) $ với mọi số nguyên $a,b $.
------------------------------
Bài 3. Tính
$\sum\limits_{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right) $

Sử dụng bất đẳng thức cơ bản sau:
Với mọi $x>0 $ ta có: $\frac{x}{1+x}<\ln{1+x}<x $. Khi đó:
$\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n+1)(2n+1)(2n+2)}}<\sum\limits _{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right)<\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n)(2n)(2n+1)}} $
$\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n)(2n)(2n+1)}}=\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n)(2n)}}-\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{2}{(2n)(2n+1)}}. $
Sử dụng đẳng thức:
$\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ThangToan, 01-08-2011 lúc 06:54 AM Lý do: Tự động gộp bài
ThangToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to ThangToan For This Useful Post:
n.v.thanh (01-08-2011)
Old 01-08-2011, 10:20 AM   #3
tuan119
+Thành Viên+
 
tuan119's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2008
Bài gởi: 993
Thanks: 273
Thanked 666 Times in 422 Posts
Câu 1:
Ta chứng minh được $(x_n) $ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $1 $. Giới hạn: $\boxed{\lim {x_n}=1} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________
tuan119 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to tuan119 For This Useful Post:
n.v.thanh (01-08-2011)
Old 01-08-2011, 02:05 PM   #4
math213
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2010
Bài gởi: 46
Thanks: 6
Thanked 52 Times in 20 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ThangToan View Post
------------------------------
Bài 3. Tính
$\sum\limits_{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right) $

Sử dụng bất đẳng thức cơ bản sau:
Với mọi $x>0 $ ta có: $\frac{x}{1+x}<\ln{1+x}<x $. Khi đó:
$\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n+1)(2n+1)(2n+2)}}<\sum\limits _{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right)<\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n)(2n)(2n+1)}} $
$\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n)(2n)(2n+1)}}=\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{(n)(2n)}}-\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{2}{(2n)(2n+1)}}. $
Sử dụng đẳng thức:
$\sum\limits_{i = 1}^\infty{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6} $
Ta có chuỗi $\sum\limits_{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right)=2\sum\limits_{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} $

Mà chuỗi $\sum\limits_{i = 1}^\infty {\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} $ phân kỳ ???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: math213, 01-08-2011 lúc 02:08 PM
math213 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to math213 For This Useful Post:
n.v.thanh (01-08-2011)
Old 01-08-2011, 05:22 PM   #5
tuan119
+Thành Viên+
 
tuan119's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2008
Bài gởi: 993
Thanks: 273
Thanked 666 Times in 422 Posts
Câu 3:
Ta có:
${\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right) $
$=\ln (\frac{n+1}{n})(\frac{2n+1}{2n})(\frac{2n+2}{2n+1} )=\ln (\frac{n+1}{n})^2 $
$\implies T=\sum_{n=1}^{\infty}{\ln \left( {1 + \frac{1}{n}} \right)} \left( {1 + \frac{1}{{2n}}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{2n + 1}}} \right) $
$=\sum_{n=1}^{\infty}\ln (\frac{n+1}{n})^2=2\sum_{n=1}^{\infty}\ln (\frac{n+1}{n}) $
$\implies \frac{T}{2}=\sum_{n=1}^{\infty} (\ln (n+1)-\ln n) = \boxed{+\infty} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________
tuan119 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to tuan119 For This Useful Post:
n.v.thanh (01-08-2011)
Old 01-08-2011, 05:26 PM   #6
batigoal
Super Moderator
 
batigoal's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Đến từ: Hà Nội
Bài gởi: 2,895
Thanks: 382
Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts
Câu 1. Tham khảo ở đây http://mathproblems123.wordpress.com...y-2-problem-1/
Câu 5 tham khảo ở đây http://mathproblems123.wordpress.com...y-2-problem-5/
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
“ Sức mạnh của tri thức là sự chia sẻ tri thức”

[Only registered and activated users can see links. ]

thay đổi nội dung bởi: batigoal, 01-08-2011 lúc 05:29 PM
batigoal is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to batigoal For This Useful Post:
n.v.thanh (01-08-2011)
Old 02-08-2011, 11:47 AM   #7
tuan119
+Thành Viên+
 
tuan119's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2008
Bài gởi: 993
Thanks: 273
Thanked 666 Times in 422 Posts
Câu 3: Đề sai, vì tự nhiên thấy dễ quá!
Đề đúng là:
Tính: $\sum_{n=1}^\infty \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \ln \left( 1+\frac{1}{2n}\right) \ln \left( 1+\frac{1}{2n+1}\right) $
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
$\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________
tuan119 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:23 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 68.95 k/77.65 k (11.20%)]