Các bà i tập liên quan đến trực tâm của tam giác

[n.t.tuan]

Như tên của chủ đề, anh em nào có bài thì chia sẻ nhé!


Bài 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn (ABC).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Bài 2: Cho $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm $BC$. CM: $\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{MA}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC} ^2$
Bài 3. Cho tam giác ABC không cân có đường cao AD. Gọi H là điểm trên AD sao cho góc HBA=HCA. Chứng minh H là trực tâm tam giac ABC
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trầm]

Em tìm thấy cái này của cậu Kha
[Only registered and activated users can see links. ]
Chắc nó hữu ích
Bài 4:
Cho $\Delta ABC$ (AB < AC) nội tiếp (O; R) có AD, BE, CF là 3 đường cao đồng quy tại trực tâm H.
a) Chứng minh: AFHE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$.
c) Chứng minh: DFEM là tứ giác nội tiếp.
d) Chứng minh: $OA \perp EF$.
e) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFHE cắt (O) tại V. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh H, I, V thẳng hàng.

cô dạy khi học cũng phải nhớ tới các bệnh để còn tránh

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[n.t.tuan]

Bài 5. Gọi O là tâm của (ABC) và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH=2OM.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[liverpool29]

Bài 6: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ ngoại tiếp $(I)$.Gọi $M,N,L$ lần lượt là điểm chính giữa các cung nhỏ $BC,CA,AB$. $M',N',L'$ lần lượt là các điểm đối xứng của $M,N,L$ qua trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh $I$ là trực tâm của tam giác $M'N'L'$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Cái này thì nhiều lắm anh ạ.
Bài 152 và 153 đều liên quan, anh xem có được không, ngoài ra còn có bài VMO 2009 hay 2010 gì nữa, đề thế này:
Bài 7. Trong mặt phẳng cho đường tròn $(O)$ và hai điểm cố định $B, C$ nằm trên đường tròn đó sao cho $BC$ không là đường kính. Xét một điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $AB \neq AC$ và $A \neq B, C$. Gọi $D, E$ lần lượt là giao điểm của $BC$ với đường phân giác trong và phân giác ngoài $\angle{BAC}$. $I$ là trung điểm $DE$. Đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác $ABC$ và vuông góc với $AI$ cắt $AD$ và $AE$ tương ứng tại $M, N$
a) Chứng minh $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Xác định vị trí điểm $A$ sao cho tam giác $AMN$ có diện tích lơn nhất.
Một bài khá là cũ cũng không khó chứng minh:
Bài 8. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác lồi $ABCD$. $G_1, G_2$ là trọng tâm tương ứng của hai tam giác $OAB$ và $ACD$. $H_1, H_2$ là trực tâm tam giác $OCB$ và $ODA$. Chứng minh $G_1G_2 \perp H_1H_2$.
Thêm bài này nữa:
Bài 9. Cho tam giác $ABC$ với các đường cao $AD, BE, CF$. Trực tâm $H$. $DF$ cắt $BH$ tại $M, DE$ cắt $CH$ tại $N$. chứng minh đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $MN$ đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác $HBC$.
Ngoài ra anh có thể xem các định lý nổi tiếng như: đường thẳng Steiner, định lý Collings, điểm Parry reflection, định lý Brocard, hay định lý Paul Yiu về đường tròn bàng tiếp, đường thẳng Droz Farny, .... mà nó có một hệ quả liên quan trực tiếp tới trực tâm tam giác mà em không nhớ rõ lắm, anh cũng có thể xem một bài toán liên quan rất nhiều tới trực tâm và đường tròn Euler như bài 3 vòng 5 và các bài toán mathley khác như bài 2 vòng 1, bài 3 vòng 2, bài 2 vòng 7.
Ngoài ra còn có hai bài toán của anh Nguyễn Hoàng Sơn và anh Nguyễn Văn Linh cũn liên quan đến trực tâm, đường tròn Hagge, và một bài TST của china nữa mà em lục lại cuốn vở của em nữa, em sẽ post sau, hai bài đó rất đẹp. Một thời làm em ngưỡng mộ hai anh này cuông nhiệt.

Còn giờ thì lại cơm

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thephuong]

Hai bài đó đây anh ạ. Hai bài này em thấy rất hay
Bài 10. (Nguyễn Hoàng Sơn)
Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm. $P$ là điểm bất kì trong tam giác đó. Gọi $A_1B_1C_1$ là tam giác Pedal của $P$ với tam giác $ABC$. Trên $HA, HB, HC$ lấy các điểm $A_2, B_2, C_2$ sao cho $AA_2=2PA_1$, $BB_2=2PB_1$, $CC_2=2PC_1$. Chứng minh tam giác $ABC$ đồng dạng với tam giác $A_2B_2C_2$.
Bài 11. (Anh Linh, cái này thì ngày trước em ghi như thế e ko biết có đúng ko, tác giả bài này thông cảm )
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $M_a, M_b, M_c$ lần lượt là trung điểm $BC, CA, AB$. $AM_a, BM_b, CM_c$ cắt $(O)$ tại $X, Y, Z$. Các đường thẳng vuông góc với $AM_a, BM_b, CM_c$ tại $M_a, M_b, M_c$ cắt nhau tại $A_1, B_1, C_1$. $P$ là một điểm bất kì trong tam giác $A_1B_1C_1$ là $A_2B_2C_2$ là tam giác pedal của $P$ với $A_1B_1C_1$. $A_3, B_3, C_3$ là các điểm đối xứng của $X$ qua $A_2, Y$ qua $B_2, Z$ qua $C_2$. Chứng minh $H, A_3, B_3, C_3$ đồng viên.($H$ là trực tâm tam giác $ABC$)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TNP]

Bài 12 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp (O), vẽ đường cao CD, H là trực tâm, OC cắt AB tại E, M trung điểm EC. CMR MD đi qua trung điểm OH
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tangchauphong]

Bài 13:
Cho tam giác $ABC $ không cân tại $A $ nội tiếp đường tròn tâm $(O) $, có đường cao $BE $ và $CF $, $H $ là trực tâm tam giác $ABC $, $M $là trung điểm $BC $. $FE $ cắt cắt $(O) $ tại $T $. Chứng minh rằng $T, H, M $ thẳng hàng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ma 29]

Bài 13:
Cho tam giác $ABC $ không cân tại $A $ nội tiếp đường tròn tâm $(O) $, có đường cao $BE $ và $CF $, $H $ là trực tâm tam giác $ABC $, $M $là trung điểm $BC $. $FE $ cắt cắt $(O) $ tại $T $. Chứng minh rằng $T, H, M $ thẳng hàng.

Đề bài không chính xác. Bạn xác định lại điểm $T $ đi. Theo bạn thì có tới 2 điểm $T $và hai điểm này muốn thẳng hàng với $H, M $thì chỉ có ở tam giác vuông tại $A $mới xảy ra thôi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ThangToan]

Bài 14. Cho tam giác $ABC $ nhọn, trực tâm $H $. Gọi $BE, CF $ lần lượt là các đường cao của tam giác $ABC $ ($E, F $ là chân đường cao). Gọi $M, N $ lần lượt là tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ $A $ đến đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCEF $. Chứng minh rằng $M, H, N $ thẳng hàng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Cauchy-Schwarz]

Bài 15:
Cho tứ giác lồi ABCD có 3 góc ở các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.
Bài 14:
Cách cấp 2: Xem trong sách Nâng cao và phát triển Toán 9 (tập 2)-Vũ Hữu Bình.
Cách cấp 3 (không biết có đến nỗi phải sử dung cái này không): Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC. Dễ thấy H và A liên hợp với nhau đối với đường tròn (O), mà MN là đường đối cực của A với (O).
Suy ra H, M, N thẳng hàng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[arsenal1000]

Bài 16 Cho $\Delta ABC $ vuông tại $A $, trung tuyến $AM $, đường cao $AH $. $P $ là một điểm bất kì thuộc tia đối $AM $. Từ $H $, kẻ các đường vuông góc tới $AB $, $AC $, cắt $PB, PC $ lần lượt ở $E, F $. Chứng minh: $A $ là trưc tâm $\Delta PEF $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[CTK9]

Thêm một bài nữa nhé mọi người: Cho tam giác nhọn, không cân. và là các đường cao. Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với và ở và. Chứng minh rằng: trực tâm của tam giác trùng với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
Chứng minh: xem ở đây
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]