Các khẳng định tương đương về sự hội tụ dãy hà m liên tục trong một không gian Banach

[osp]

Cho $X$ là một không gian Banach và $(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ là một dãy trong $L(X)$ trong đó, $L(X)$ là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X. Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương:
(a) $(T_nx)_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ với mọi $x\in X$.
(b) $(T_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset L(X)$ bị chặn và $(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ với mọi x thuộc một tập con trù mật $D$ nào đó của $X$.
(c) $(T_nx)_{n\in\mathbb{N}}$ hội tụ đều với mọi $x\in C$ và mỗi tập compact $C$ trong $X$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]