Hình học tổng hợp

[buratinogigle]

Topic lập ra sưu tập các bài hình học giải theo phương pháp "tổng hợp". Phần lớn nằm trong chương trình THCS. Các bài toán trong topic cũng có thể dùng để luyện thi lớp 10 chuyên.

Bài toán 1 (Thầy Nguyễn Xuân Hùng từ THTT). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Đường cao $AH.$ $I, J$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiép của các tam giác $ABH, ACH.$ $IJ$ theo thứ tự cắt $AB, AC$ tại $M, N.$ $HI, HJ$ theo thứ tự cắt $AB, AC$ tại $X, Y.$ $BY, CX$ theo thứ tự cắt $MN$ tại $P, Q.$ Chứng minh rằng $\frac{AI}{AJ}=\frac{HQ}{HP}.$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Bài toán 2 (Từ AoPS). Cho tam giác $ABC$ và đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,$ $AB$ tại $E,$ $F.$ Các tiếp tuyến qua $B,$ $C$ của $(K)$ mà khác $BA,$ $CA$ cắt nhau tại $L.$ $(L)$ là đường tròn tâm $L$ đi qua các tiếp điểm của $(K)$ với $LB,$ $LC.$ $AK$ cắt $(L)$ tại $M,$ $N.$ Chứng minh rằng các đường tròn $(AEM)$ và $(AFN)$ đồng quy với $(K).$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LichKing]

Topic lập ra sưu tập các bài hình học giải theo phương pháp "tổng hợp". Phần lớn nằm trong chương trình THCS. Các bài toán trong topic cũng có thể dùng để luyện thi lớp 10 chuyên.

Bài toán 1 (Thầy Nguyễn Xuân Hùng từ THTT). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A.$ Đường cao $AH.$ $I, J$ theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiép của các tam giác $ABH, ACH.$ $IJ$ theo thứ tự cắt $AB, AC$ tại $M, N.$ $HI, HJ$ theo thứ tự cắt $AB, AC$ tại $X, Y.$ $BY, CX$ theo thứ tự cắt $MN$ tại $P, Q.$ Chứng minh rằng $\frac{AI}{AJ}=\frac{HQ}{HP}.$

Em xin đóng góp 1 lời giải.

Edit: Đoạn $RB=RS$ có thể làm cách khác, hoàn toàn bằng kiến thức lớp 8 như sau:

Sử dụng Menelaus vào tam giác $BSC$ với $H, Q, Y$ thẳng hàng ta có $\frac{HB}{HC}\cdot\frac{YC}{YS}\cdot\frac{QS}{QB} =1.$

Chú ý $YS=BX, AX=AY$ và theo tính chất đường phân giác $\frac{HB}{HC}=\frac{HB}{HA}\cdot\frac{HA}{HC}= \frac{XB}{YC}=\frac{YS}{YC}.$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Cám ơn em sau đây là lời giải của mình



Mời các bạn thảo luận tiếp bài toán 2 và đề nghị tiếp các bài toán hay.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Bài toán 3. Cho tam giác $ABC$ có phân giác ${AD}.$ Gọi $M$ là trung điểm ${AD}.$ Đường tròn đường kính $AB$ và $AC$ lần lượt cắt các đoạn thẳng $MC$ và $MB$ tại các điểm $R$ và $Q.$ Chứng minh rằng bốn điểm $B,$ $C,$ $Q$ và $R$ đồng viên.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LichKing]

Bài toán 2 (Từ AoPS). Cho tam giác $ABC$ và đường tròn $(K)$ tiếp xúc $CA,$ $AB$ tại $E,$ $F.$ Các tiếp tuyến qua $B,$ $C$ của $(K)$ mà khác $BA,$ $CA$ cắt nhau tại $L.$ $(L)$ là đường tròn tâm $L$ đi qua các tiếp điểm của $(K)$ với $LB,$ $LC.$ $AK$ cắt $(L)$ tại $M,$ $N.$ Chứng minh rằng các đường tròn $(AEM)$ và $(AFN)$ đồng quy với $(K).$

Em xin đóng góp 1 lời giải cho bài này.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Cám ơn em, sau đây là lời giải của mình.

Mình đề nghị bài tiếp

Bài toán 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với đường cao $AD,$ $BE,$ $CF$ cắt nhau tại $H.$ $DE,$ $DF$ lần lượt cắt $HC,$ $HB$ tại $Q,$ $R.$ Tiếp tuyến qua $B,$ $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $P.$ Chứng minh rằng $HP$ chia đôi $QR.$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LichKing]

Bài toán 3. Cho tam giác $ABC$ có phân giác ${AD}.$ Gọi $M$ là trung điểm ${AD}.$ Đường tròn đường kính $AB$ và $AC$ lần lượt cắt các đoạn thẳng $MC$ và $MB$ tại các điểm $R$ và $Q.$ Chứng minh rằng bốn điểm $B,$ $C,$ $Q$ và $R$ đồng viên.

Em xin góp 1 lời giải cho bài 3.


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Cám ơn em, lời giải của đáp án mình có cũng tương tự. Chúng ta có thể tham khảo thêm một ý tưởng dùng hàng điều hòa như sau

Lời giải bài toán 3. Lấy $P$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ sao cho $BP\parallel AD.$ Khi đó $AP\perp AD.$ Mặt khác vì $M$ là tung điểm $AD$ nên $A(BC,MP)=-1=B(AC,MP)$ ta suy ra $C,$ $M,$ $P$ thẳng hàng. Do đó $$\angle BRC=180^\circ-\angle PRB=180^\circ-\angle PAB=90^\circ+\frac{\angle A}{2}.$$

Chứng minh tương tự $\angle BQC=90^\circ+\frac{\angle A}{2}.$ Ta có đpcm.

Mời các bạn thảo luận tiếp bài toán 4.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LichKing]

Bài toán 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với đường cao $AD,$ $BE,$ $CF$ cắt nhau tại $H.$ $DE,$ $DF$ lần lượt cắt $HC,$ $HB$ tại $Q,$ $R.$ Tiếp tuyến qua $B,$ $C$ của $(O)$ cắt nhau tại $P.$ Chứng minh rằng $HP$ chia đôi $QR.$

Em xin góp 1 lời giải cho bài này, lời giải còn tính toán nhiều và chưa được gọn lắm.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[buratinogigle]

Cám ơn em, lời giải bài 4 của mình.

Lấy $P$ đối xứng $H$ qua trung điểm $BC$ thì $AP$ là đường kính của $(O)$ ngoại tiếp $ABC.$ Gọi $PC,$ $PB$ cắt $AB,$ $AC$ tại $N,$ $M$ thì $P$ là trực tâm tam giác $AMN$ do đó $T$ là trung điểm $MN.$ Lấy $K$ đối xứng $C$ qua trung điểm $BN,$ do $CN\parallel BE$ nên $K$ nằm trên $BE.$ Tương tự có $L$ đối xứng với $B$ qua trung điểm $CM$ thì $L$ thuộc $CF.$ Khi đó $MLNK$ là hình bình hành nên $T$ là trung điểm $KL.$ Gọi $S$ đối xứng $O$ qua $BC.$ Ta đã biết $QR\perp AS.$ Ta lại có $OS\cdot OT=2OA^2$ suy ra

$$\frac{OS}{OA}=\frac{2OA}{OT}=\frac{2OC}{OT}=\fra c{BC}{CT}=\frac{ML}{MT}.$$

Từ đó hai tam giác $OAS$ và $MTL$ đồng dạng, suy ra $AS\perp TL$ do đó $QR\parallel KL.$ Từ $T$ là trung điểm $KL$ suy ra $HT$ chia đôi $QR.$

Mình xin đề xuất bài tiếp tục

Bài toán 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ $E,$ $F$ là hai điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng $CA,$ $AB.$ $EF$ cắt $BC$ tại $D.$ $P$ bất kỳ nằm trên $EF$ và $Q$ bất kỳ nằm trên đường tròn $(AEF).$ $AQ$ cắt đường tròn $(DPQ)$ tại $R$ khác $Q.$ Đường tròn $(APR)$ cắt lại $(O)$ tại $G.$ Chứng minh rằng $AP$ và $BC$ cắt nhau trên đường tròn $(GRD).$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LichKing]

Mình xin đề xuất bài tiếp tục

Bài toán 5. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ $E,$ $F$ là hai điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng $CA,$ $AB.$ $EF$ cắt $BC$ tại $D.$ $P$ bất kỳ nằm trên $EF$ và $Q$ bất kỳ nằm trên đường tròn $(AEF).$ $AQ$ cắt đường tròn $(DPQ)$ tại $R$ khác $Q.$ Đường tròn $(APR)$ cắt lại $(O)$ tại $G.$ Chứng minh rằng $AP$ và $BC$ cắt nhau trên đường tròn $(GRD).$

Em thử vẽ hình thì thấy AP và BC không cắt nhau trên (GRD), không biết có nhầm lẫn chỗ nào không ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]