![]() | ![]() | | ![]() |
|
|
![]() |
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
![]() ![]() |
|
![]() | #1 |
Super Moderator ![]() | Bổ Ä‘á» Cantor Bổ Ä‘á» Cantor phát biểu rằng má»™t không gian mêtric là đầy đủ khi và chỉ khi má»i dãy giảm các táºp con đóng, khác rá»—ng và đưá»ng kÃnh tiến vá» zero thì có giao khác rá»—ng. Câu há»i đặt ra là nếu thay giả thiết Ä‘Æ°á»ng kÃnh tiến vá» zero bởi dãy các Ä‘Æ°á»ng kÃnh bị chặn thì kết quả sẽ không đúng? Mình định tìm ra phản và dụ mà nghÄ© hoà i chÆ°a ra. ![]() __________________ - Äừng cố gắng trở thà nh má»™t con ngÆ°á»i thà nh công, mà hãy trở thà nh má»™t con ngÆ°á»i có giá trị - |
![]() | ![]() |
quangtu123 (25-07-2020) |
![]() | #2 |
+Thà nh Viên+ ![]() : May 2014 : 11 : 3 | Giả sá» không gian metric $X$ thá»a mãn má»i dãy giảm các táºp con đóng, khác rá»—ng vá»›i Ä‘Æ°á»ng kÃnh bị chặn Ä‘á»u có giáo không rá»—ng. Thế thì nói riêng, khẳng định nà y cÅ©ng đúng vá»›i các dãy giảm có Ä‘Æ°á»ng kÃnh tiến vá» $0$. Theo bổ Ä‘á» Cantor, $X$ là không gian đầy đủ. Tuy nhiên Ä‘iá»u ngược lại quả nhiên là không đúng. Bạn muốn tìm má»™t không gian đầy đủ $X$ cùng vá»›i má»™t dãy $U_i$ các táºp con đóng, khác rá»—ng vá»›i Ä‘Æ°á»ng kÃnh bị chặn sao cho $\cap U_i=\emptyset$. Theo [Only registered and activated users can see links. ], $U_i$ sẽ phải là các táºp không compact. Äóng và bị chặn mà không compact, chắc có thể tìm má»™t phản và dụ trong các không gian Hilbert. Tháºt váºy, đặt $U_i=\ell^2\cap\{\Vert x\Vert=1\}\cap \{x_1=\dots=x_i=0\}$. Thế thì $U_i$ là má»™t dãy giảm các táºp con đóng, khác rá»—ng, bị chặn vá»›i giao bằng rá»—ng. (Bổ Ä‘á»: $U_i$ là má»™t táºp cong đóng. Chứng minh: $\{\Vert x\Vert=1\}$ là hình cầu đóng. $\{x_1=\dots=x_i=0\}\subset\mathrm{Span}(e_1,\dots ,e_i)^\perp$. Ngược lại, nếu $v\in\mathrm{Span}(e_1,\dots,e_i)^\perp$, $\langle v,e_i\rangle=0\implies x_i(v)=0$. Do đó $\{x_1=\dots=x_i=0\}=\mathrm{Span}(e_1,\dots,e_i)^ \perp$, là phần bù vuông góc của má»™t không gian con, nên là đóng. $U_i$ là giao của hai táºp đóng, nên cÅ©ng đóng.) |
![]() | ![]() |
portgas_d_ace (29-07-2020) |