|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
|
14-07-2014, 10:55 AM | #1 |
Administrator | Bà i giảng tổ hợp 2: Các đối tượng tổ hợp cÆ¡ bản. Nếu má»™t táºp hợp không có cấu trúc gì cả thì chẳng có cách nà o đếm được số phần tá» của nó ngoà i cách đếm liệt kê. Vì váºy ta sẽ quan tâm đến những táºp hợp có cấu trúc, tức là được táºp hợp được xây dá»±ng từ các táºp hợp cÆ¡ bản (đã biết rõ số phần tá») thông qua các phép toán, các phép xây dá»±ng. Tôi cho rằng bạn Ä‘á»c đã nắm rõ những khái niệm và phép toán cÆ¡ bản trên táºp hợp: táºp con, hợp, giao, hiệu, hiệu đối xứng của hai táºp hợp, phần bù của má»™t táºp hợp trong má»™t táºp vÅ© trụ. Äặc biệt phép toán tÃch Äá»-các sẽ rất quan trá»ng. Theo định nghÄ©a tÃch Äá»-các của hai táºp hợp A và B là táºp hợp tất cả các bá»™ sắp thứ tá»± (a, b) vá»›i a thuá»™c A và b thuá»™c B. AxB=(a,b)|a∈A,b∈B. Chú ý rằng nếu A, B, C thuá»™c táºp vÅ© trụ X thì các phép toán hợp, giao, hiệu của A, B, C không vượt ra khá»i X. NhÆ°ng tÃch Äá»-các thì khác. TÃch Äá»-các là má»™t công cụ hữu hiệu để xây dá»±ng các táºp hợp má»›i to hÆ¡n, nhiá»u phần tá» hÆ¡n. Chú ý là các quy tắc đếm ở bà i trÆ°á»›c Ä‘á»u có thể phát biểu gá»n gà ng trên ngôn ngữ táºp hợp. Quy tắc cá»™ng: Nếu A giao B bằng rá»—ng thì |A hợp B | = |A| + |B| Quy tắc nhân: |A x B | = |A|.|B| Quy tắc phần bù: Nếu A thuá»™c X thì |A| = |X| - |phần bù của A|. Tiếp theo, ta sẽ giá»›i thiệu các đối tượng tổ hợp cÆ¡ bản phát sinh từ má»™t táºp hợp hữu hạn X có n phần tá». 1. Táºp tất cả các táºp con của X, ký hiệu là P(X). Phần tá» của P(X) là các táºp con của X, trong đó có rá»—ng và chÃnh X. Và dụ vá»›i X = {1, 2, 3} thì P(X) gồm 8 phần tá» sau: rá»—ng, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, X. Nói chung, nếu X có n phần tá» thì P(X) có 2^n phần tá». ChÃnh vì thế đôi khi ngÆ°á»i ta còn ký hiệu P(X) là 2^X. Còn ở đây chữ P là viết tắt của chữ power, P(X) trong tiếng Anh gá»i là power set. P(X) và các táºp con của nó là má»™t đối tượng ta rất quan tâm. 2. Chỉnh hợp cháºp k từ n phần tá» của X là má»™t bá»™ sắp thứ tá»± k phần tá» phân biệt lấy từ X. Ở đây sắp thứ tá»± có nghÄ©a là thứ tá»± quan trá»ng, và dụ là (1, 2) sẽ khác (2, 1). Và dụ vá»›i X = {1, 2, 3, 4, 5} và k = 2 thì các chỉnh hợp cháºp 2 của 5 phần tá» của X gồm (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (1, 4), (4, 1), (1, 5), (5,1), (2, 3), (3, 2), (2, 4), (4, 2), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3), (4, 5), (5, 4). Có tất cả 20 chỉnh hợp cháºp 2 của 5 phần tá» nhÆ° váºy. Ở đây ta Ä‘Æ°a việc thiết láºp 1 chỉnh hợp nhÆ° thế thà nh 1 quy trình 2 công Ä‘oạn: chá»n phần tá» thứ nhất sau đó chá»n phần tá» thứ hai. Phần tá» thứ nhất rõ rà ng có 5 cách chá»n, phần tá» thứ hai chỉ có 4 (phải khác phần tá» thứ nhất). Tổng quát hÆ¡n số chỉnh hợp cháºp k từ n phần tá», được ký kiệu là A(k,n) vá»›i lý luáºn tÆ°Æ¡ng tá»±, sẽ bằng n.(n-1)...(n-k+1). Nếu đặt n! = 1.2.3...n thì ta có thể rút gá»n A(k,n) = n!/(n-k)!. 3. Hoán vị của n phần tá» chÃnh là chỉnh hợp cháºp n từ n phần tỠđó. Nói cách khác là má»™t cách xếp n phần tá» theo má»™t thứ tá»± nà o đó. Số hoán vị của n phần tỠđược ký hiệu là P(n) và bằng n!. 4. Tổ hợp cháºp k từ n phần tá» của X là má»™t bá»™ không sắp thứ tá»± k phần tá» phân biệt lấy từ X. Ở đây không sắp thứ tá»± có nghÄ©a là thứ tá»± không quan trá»ng, và dụ là {1, 2} sẽ giống {2, 1}. Và dụ vá»›i X = {1, 2, 3, 4, 5} và k = 2 thì các tổ hợp cháºp 2 của 5 phần tá» của X gồm {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}. Có tất cả 10 tổ hợp cháºp 2 của 5 phần tá» nhÆ° váºy, Ãt hÆ¡n 1 ná»a so vá»›i chỉnh hợp tÆ°Æ¡ng ứng. Vá»›i tổ hợp cháºp k của n phần tá», ta thấy rằng từ 1 tổ hợp cháºp k của n phần tá» ta có thể phát sinh ra k! các chỉnh hợp cháºp k của n phần tỠđó bằng cách hoán vị các phần tá» trong tổ hợp nà y. Vì thế, số chỉnh hợp cháºp k của n phần tá» sẽ gấp k! lần số tổ hợp cháºp k của n phần tá». Do đó nếu ký hiệu C(k,n) là số tổ hợp cháºp k của n phần tá» thì ta có A(k,n) = k!C(k,n). Từ đây suy ra C(k,n) = n!/(k!*(n-k)!). Ta có thể coi má»™t tổ hợp cháºp k từ n phần tá» là má»™t táºp con k phần tá» của táºp đó. NhÆ° váºy C(k,n) chÃnh là số táºp con k phần tá» của má»™t táºp hợp có n phần tá». Trong má»™t táºp hợp thứ tá»± là không quan trá»ng nên nếu chúng là các con số thì ta có thể sắp chúng theo thứ tá»± tăng dần. Không sắp thứ tá»± lại có thể sắp thứ tá»±. Äây giống nhÆ° má»™t nghịch lý và là bắt nguồn của nhiá»u sai lầm. Ta phải nắm vững chá»— nà y nhé. 5. Chỉnh hợp lặp cháºp k từ n phần tá» của X là má»™t bá»™ sắp thứ tá»± k phần tá» không nhất thiết phân biệt lấy từ X. Và dụ vá»›i X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có 9 chỉnh hợp lặp cháºp 2 từ 3 phần tá» nà y là (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3). Tổng quát hÆ¡n, dùng quy tắc nhân ta dá»… dà ng có được số chỉnh hợp lặp cháºp k của n phần tá» bằng n^k. Tạm thá»i hôm nay ta dừng lại ở đây. Còn hai đối tượng tổ hợp quan trá»ng nữa là hoán vị lặp và tổ hợp lặp ta sẽ Ä‘á» cáºp đến trong bà i sau. Tiếp theo, ta sẽ dùng các công cụ má»›i trang bị và các quy tắc đếm để giải má»™t bà i táºp thú vị liên quan đến má»™t trò chÆ¡i mà tôi rất thÃch: binh xáºp xám. Luáºt chÆ¡i binh xáºp xám: Má»—i ngÆ°á»i chÆ¡i sẽ được chia 13 lá bà i, được chia thà nh 3 chi. Chi đầu và giữa gồm 5 lá bà i. Chi cuối gồm 3 lá bà i. Từ đây má»›i có cái tên xáºp xám. Xáºp xám tức là tháºp tam = 13. Yêu cầu ngÆ°á»i chÆ¡i phải sắp xếp sao cho chi trÆ°á»›c mạnh hÆ¡n chi sau. Sức mạnh của bá»™ bà i (chi) được căn cứ theo danh sách sau (mạnh đến yếu) Thùng phá sảnh: gồm 1 dãy liên tiếp và đồng chất (chi 3 không có) Tứ quý: gồm 4 lá bà i cùng số (chi 3 không có) Cù lÅ©: gồm 1 bá»™ ba và 1 đôi (chi 3 không có) Thùng: gồm 1 dãy các lá bà i đồng chất (chi 3 không có) Sảnh: gồm 1 dãy liên tiếp và không đồng chất (chi 3 không có) Sám cô: gồm 1 bá»™ ba Thú: gồm 2 bá»™ đôi Dách (hay Äá»™n): gồm 1 bá»™ đôi Máºu thầu: các lá bà i không có kết hợp gì vá»›i nhau. Bà i toán 1. Rút ra ngẫu nhiên 5 lá bà i từ bá»™ bà i 52 quân. TÃnh xác suất để có a) Thùng phá sảnh b) Tứ quý c) Cù lÅ© d) Thùng e) Sảnh f) Sám cô g) Thú h) Dách i) Máºu thầu. Giải: Số cách rút ra 5 quân từ bá»™ bà i 52 quân bằng C(5,52). Äó là không gian xác suất. a) Má»™t thùng phá sảnh được xác định hoà n toà n bởi chất của 5 quân bà i và quân nhá» nhất. Quân nhá» nhất có thể là 1 (A), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Vì váºy có tất cả 4 (số chất) x 10 (số giá trị quân nhá» nhất) = 40 TH thùng phá sảnh. Xác suất tÆ°Æ¡ng ứng là 40/C(5,52). b) Tứ quý. Có 13 cách chá»n giá trị quân bà i sẽ gặp 4 lần. Ta lấy cả 4 quân bà i tÆ°Æ¡ng ứng. Quân bà i còn lại có 48 cách chá»n. Xác suất tÆ°Æ¡ng ứng là 13x48/C(5,52). c) Cù lÅ©: Bà i táºp. d) Thùng: Có 4 cách chá»n chất. Sau khi chá»n chất, có C(5,13) cách chá»n 5 quân của chất đó. Xác suất tÆ°Æ¡ng ứng là 4*C(5,13)/C(5,52). e) Sảnh: Bà i táºp. f) Sám cô: Có 13 cách chá»n giá trị quân sám cô. Sau đó có C(3,4) cách chá»n 3 quân bà i từ 4 quân bà i tÆ°Æ¡ng ứng. Hai quân còn lại chá»n ra không được là đôi nên phải có 2 giá trị khác (thứ tá»± không quan trá»ng), có C(2,12) cách chá»n. Vá»›i má»—i giá trị có 4 cách chá»n quân (vì có 4 chất). Äáp số là 13*C(3,4)*C(2,12)*4*4/C(5,52). g) Thú: Bà i táºp. Coi chừng là sai! h) Dách: Bà i táºp i) Máºu thầu: Ta tÃnh xác suất của má»™t bá»™ bà i không có đôi. Chú ý còn phải tÃnh đến các trÆ°á»ng hợp không đôi nhÆ°ng là thùng, sảnh. Có C(5,13) cách chá»n ra 5 giá trị khác nhau. Sau đó vá»›i má»—i giá trị có 4 cách chá»n chất. Äáp số là C(5,13)*4^5/C(5,52). Xác suất máºu thầu thá»±c tế sẽ nhá» hÆ¡n con số nêu trên 1 chút. Các bạn là m thá» bà i táºp nêu trên nhé. Nếu bạn là m được mà không mắc sai sót gì thì bạn đã nắm khá vững và ng phép đếm đấy. |
chuyentoanltt (15-07-2014), doanthanh (22-07-2014), henry0905 (21-07-2014), huynhcongbang (14-07-2014), Kelacloi (14-07-2014), magic. (14-07-2014), portgas_d_ace (14-07-2014), quocbaoct10 (14-07-2014), son1980 (16-10-2019) |
21-07-2014, 07:36 AM | #2 |
Super Moderator : Apr 2009 : 696 : 8 | Xin phép biên soạn lại bằng LaTeX __________________ |