Thảo luận tính chất hình học của điểm Miquel

[tuankietpq]

Chào các bạn, hôm nay mình viết bài này ra để cùng mọi người thảo luận về các tính chất hình học của điểm Miquel. Mình xin phát biểu lại định lý này như sau:
"Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P tương ứng thuộc các cạnh AB, BC, CA. Khi đó, các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMP, BMN, CNP cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là điểm Miquel".
Bạn nào biết các bài toán liên quan đến điểm Miquel, hay ứng dụng của nó thì gửi lên cho các bạn cùng học hỏi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Dạng này có rất nhiều bài tập liên quan. Để mốt mình sẽ post ủng hộ bạn vài bài. Bạn nên đọc thêm về điểm Miquel của tứ giác toàn phần nữa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuankietpq]

Vậy xin cảm ơn bạn trước. Mong bạn sớm gửi bài lên cho mọi người cùng tham khảo.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Samurott]

Xin chào, hiện mình đang viết một bài viết nhỏ về tứ giác toàn phần cho diễn đàn ( [Only registered and activated users can see links. ] ), trong đó có phần về điểm Miquel, nó đẹp thật . Mình xin gởi một vài bài trước nhé:
Bài 1) Cho tam giác $ABC. M,N,P $ lần lượt thuộc các đường thẳng $BC, CA, AB $ sao cho $\Delta ABC \sim \Delta MNP $ . Cmr: tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC $ trùng với trực tâm tam giác $MNP $
Bài 2) Viet Nam TST 2013 Cho tứ giác $ABCD $ có các cạnh không song song nội tiếp $(O,R) $. Gọi $E $ là giao điểm hai đường chéo và đường phân giác góc $AEB $ cắt các đường thẳng $AB,BC,CD,DA $ lần lượt tại $M,N,P,Q. $

1/ Chứng minh rằng các đường tròn $(AQM),(BMN),(CNP),(DPQ) $ cùng đi qua một điểm. Gọi điểm đó là K.
2/ Đặt $min{AC,BD}=m $. Chứng minh rằng: $OK\leq \frac{2R^{2}}{\sqrt{4R^{2}-m^{2}}} $
Bạn có thể tham khảo ở link sau [Only registered and activated users can see links. ]
Bài 3) USA TST 2009 Cho tam giác $ABC $ nhọn. $D $ thuộc cạnh $BC $. Gọi $H $ là trực tâm tam giác $ABC $. $O_{b}, O_{c} $ lần lượt là tâm ngoại tiếp các tam giác $ABD, ACD $. Giả sử rằng $B, C, O_{b}, O_{c} $ cùng thuộc một đường tròn tâm $X $. Cmr: $\widehat{DAX} = \widehat{DAH} $
Anh mathandyou biết bài thi nào ở Việt Nam có sử dụng điểm Miquel không (đặc biệt là liên quan đến tứ giác toàn phần), cho em xin với? Mọi người ai biết cách ẩn vào nút gợi y chỉ em với Em cảm ơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Bài về điểm Miquel của tứ giác toàn phần thì cũng nhiều,như bài thi trường hè Lê Quý Đôn vừa rồi bài 4.Anh sẽ post sau.
Mình xin đóng góp cho bạn một số bài về điểm Miquel trong tam giác:
Bài 4:(VMO 2006)
Cho hình thang cân $ABCD$ có $CD$ là đáy lớn.Xét $M$ di động trên đường thẳng $CD$ sao cho $M$ khác $C,D$.Gọi $N$ là giao điểm thứ $2$ khác $M$ của $(BCM)$ và $(DAM)$.Chứng minh:
a)$N$ di động trên một đường tròn cố định.
b)$MN$ luôn đi qua điểm cố định.

Bài 5:(IMO 2013-P4)
Cho tam giác nhọn $ABC$ với trực tâm $H$. Cho $W$ là một điểm tùy ý trên cạnh $BC$, khác với các điểm $B$ và $C$. Các điểm $M$ và $N$ tương ứng là chân các đường cao hạ từ $B$ và $C$. Kí hiệu $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BWN$, và gọi $X$ là điểm trên $\omega_1$ sao cho $WX$ là đường kính của $\omega_1$. Tương tự, kí hiệu $\omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $CWM$, và gọi $Y$ là điểm trên $\omega_2$ sao cho $WY$ là đường kính của $\omega_2$. Chứng minh rằng các điểm $X,Y$ và $H$ thẳng hàng.

Bài 6:(USAMO 2013)
Cho $\triangle ABC$,các điểm $P,Q,R$ lần lượt nằm trên $BC,CA,AB$.$AP$ cắt các đường tròn $(AQR),(BQP),(CPR)$ lần lượt tại $X,Y,Z$.Chứng minh: $\dfrac{YX}{XZ} = \dfrac{BP}{CP}$

Bài 7:Định lí Mannheim
Cho $\triangle ABC$. Các điểm $M, N, P$ lần lượt nằm trên $BC, CA, AB$. Theo định lý Miquel các đường tròn $(APN), (BNM), (CMP)$ đồng quy tại một điểm $M_i$
$A1, B1, C1$ lần lượt nằm trên $(ANP), (BPM), (CMN)$ và không trùng với $A, B, C.$
Khi đó
1/ $AA1 // BB1 // CC1$ khi và chỉ khi $A1, B1, C1, Mi$ thẳng hàng
2/ $AA_1, BB_1, CC_1$ đồng quy khi và chỉ khi $A1, B1, C1, Mi$ đồng viên

Hệ quả:
Cho tam giác nhọn $ABC$ với ba đường cao $AA_1, BB_1, CC_1$. Với một điểm $O$ tùy ý trong tam giác $A_1B_1C_1$, gọi $M, N, P, Q, R, S$ lần lượt là hình chiếu của $O$ trên các đường thẳng $AA_1, BC, BB_1, CA, CC_1$ và $AB$. Chứng minh rằng các đường thẳng $MN, PQ, RS$ đồng quy.

Bài 8:Cho $\triangle ABC$ một đường tròn (O) cắt các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$.Các đường tròn $AB_1C_1,BC_1A_1,CA_1B_1$ cắt nhau tại $E$.Các đường tròn $AB_2C_2,BC_2A_2,CA_2B_2$ cắt nhau tại $F$.Chứng minh:$OE=OF$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Tiếp tục là một số bài về điểm Miquel của tứ giác toàn phần:
Bài 9:Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$,$AD$ cắt $BC$ tại $E$.Gọi $(O_1)$,$(O_2)$ lần lượt là các đường tròn $(EDC)$,$(EAB)$,chúng cắt nhau tại $M$.Chứng minh $O_1O_2$ song song $OM$.
Bài 10:Cho tứ giác $ABCD$ có $DA.BC$ không song song.Gọi $P$ là giao điểm của hai đường chéo.Gọi $M,N$ lần lượt nằm trên $DA,BC$ sao cho $\dfrac{DM}{DA}=\dfrac{BN}{BC}$.$MN$ theo thứ tự cắt $AC,BD$ tại $Q,R$.Gọi $M_1,M_2$ là điểm $Miquel$ của tứ giác toàn phần $BNCPQR$ và
$AMDPRQ$.Chứng minh $M_1$ trùng $M_2$ và nằm trên $(PQR)$.

Còn một số bài của anh Linh nữa, mình sẽ post tiếp.Các bạn hãy tham gia giải,có một số bài khá khó mình cũng chưa có lời giải,mong các bạn ủng hộ

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Samurott]

Mình xin chém trước hai bài sau
Bài 9) Gọi $P $ là giao điểm hai đường chéo, $AB $ cắt $CD $ tại $F $. Nhận xét rằng tam giác $EFP $ có cạnh bất kì là đường đối cực của điểm còn lại với $(O) $ nên $BP $ là trục đẳng phương của đường tròn đường kính $EO $ (kí hiệu $(EO) $) với $(O).
(EO)\cap (O)={I,J}\Rightarrow FI.FJ=FA.FB $
$\widehat{AMF}+\widehat{AME}=\widehat{ADC}+\widehat {ABC}=180^{0}\Rightarrow \overline{E,M,F}\Rightarrow FM.FE=FA.FB=FI.FJ $
Nên $M,E,I,J $ đồng viên hay $\widehat{OME}=90^{0} \Rightarrow OM\perp ME $
Các tứ giác $EMAB, EMDC $ nội tiếp nên $E,M $ nằm trên trục đẳng phương của hai đường tròn nên $O_{1}O_{2} \perp ME $, từ đó có đpcm
Nhận xét: Kết quả $OM \perp EF $ (khi đó $O,M,P $ thẳng hàng) là một kết quả thông dụng được sử dụng ở nhiều bài toán. Đó cũng là câu hỏi trong kì thi IMO 1985: Một $(O) $ đi qua hai đỉnh $A,C $ và cắt lại hai cạnh $BA, BA $ lần lượt tại $K, N. (ABC)\cap (KBN)={B,M} $ . Cm: $\widehat{OMB}=90^{0} $
Bài 10) Sử dụng định lí Menelaus cho tam giác $ADP $ với $M, R, Q $ thẳng hàng có:
$\frac{MD}{MA}.\frac{QA}{QP}.\frac{RP}{RD}=1 $
tương tự ta có $\frac{NB}{NC}.\frac{QC}{QP}.\frac{RP}{RB}=1 \Rightarrow \frac{QC}{RB} = \frac{QA}{RD}\Leftrightarrow RD(QC+QA)=QA(RB+RD)\Leftrightarrow \frac{AC}{BD}=\frac{QA}{RD}(1) $
${K}=(APD)\cap (BPC)\Rightarrow \Delta KAD\sim \Delta KCB(g-g)\Rightarrow \frac{KA}{KD}=\frac{KC}{KB}\Rightarrow \Delta KAC\sim \Delta KDB (c-g-c) $
$ \Rightarrow \frac{KA}{KD}= \frac{AC}{BD}= \frac{QA}{RD} \Rightarrow \Delta KDR\sim \Delta KAQ(c-g-c) \Rightarrow \widehat{KRD}=\widehat{KQA} $
$ \Rightarrow PRKQ $ nội tiếp nên K cũng là điểm Miquel của hai tứ giác $AMRP $ và $BPQN $ (gọi tắt thôi) (đpcm)
Nhận xét: Bài toán là cách phát biểu khác của bài Bulgarian TST 2004 P1 Day 3 ([Only registered and activated users can see links. ] ).
Từ bài toán trên nếu thêm dữ kiệm $AD=BC $ thì hai $\Delta KAD= \Delta KCB $ , từ đó $K $ là điểm Miquel của các tứ giác toàn phần: $EAPBDC, EMRBDN, EAQNMC, AMRPDQ, BPQNRC $ (với $E $ là giao điểm của $AC, BD $) và cũng là giao điểm của hai đường trung trực của $AC, BD $. Đó cũng là tư tưởng trong bài IMO 2005 P5 ( [Only registered and activated users can see links. ] )
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Bài 11:
Cho $\Delta ABC$ có $AB<BC<CA$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $ (I)$. Trên các tia $AB,AC$ lần lượt lấy $D,E$ sao cho $AD=AE=BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$. Dựng hình bình hành $BICJ$ và gọi $K$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Chứng minh:
a) $FA=FB+FC$
b) $F,J,K$ thẳng hàng.

Bài 12:Cho tam giác $ABC$. Một đường tròn tâm $O$ đi qua $A,C$ cắt $AB, AC$ tại $K, N$. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $KBN$ cắt nhau tại $B,M$. Chứng minh $OMB$ vuông.

Mình nghĩ bài này có hướng tiếp cận theo điểm Miquel

Bài 13:
Cho tam giác $ABC$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Một đường tròn tâm $P$ đi qua hai điểm $B$ và $C$ và gọi $Q$ là đường tròn tiếp xúc ngoài với $P$ tại $T$ và tiếp xúc trong với hai cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $U$ và $V$. Chứng minh rằng hai tứ giác $BTIU$ và $CTIV$ nội tiếp

Bài 14:
Tứ giác $ABCD$ là tứ giác lồi ,$M,N$ lần lượt là trung điểm hai đường chéo $AC,BD$.Gọi $M_1,M_2,M_3,M_4,N_1,N_2,N_3,N_4$ là 8 hình chiếu của $M,N$ trên lần lượt $4$ cạnh $AB,BC,CD,DA.$
Chứng minh rằng 8 điểm này thuộc cùng một đường tròn khi và chỉ khi $ABCD$ là tứ giác nội tiếp và điều hòa

Bài 15:
Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ bất kì nằm trong tam giác.$PA,PB,PC$ cắt các cạnh $BC,CA,AB$ tại các điểm $A',B',C'$.
a) Chứng minh rằng : $(AB'C'),(BC'A') và (CA'B')$ có một điểm chung.
Gọi nó là điểm $Q$.
b) Giả sử $AA',BB',CC'$ không đi qua $Q$.Chứng minh rằng $(AQA'),(BQB'),(CQC')$ có điểm chung khác $Q$.

Một topic liên quan đến Miquel :[Only registered and activated users can see links. ]

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuankietpq]

Mình đang cần tài liệu về điểm Miquel của tứ giác toàn phần cũng như tài liệu về tứ giác này. Bạn nào có xin gửi lên cho mình. Chân thành cảm ơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]