Sự hội tụ của nghiệm

[portgas_d_ace]

Với $k \in \mathbb{R},k \ne 1,\left\{ {{k_n}} \right\}_{n = 1}^{ + \infty } \subset \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\},\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {k_n} = k$ xét $V = \left\{ {v \in {H^1}:v\left( 0 \right) = kv\left( 1 \right)} \right\},{V_n} = \left\{ {v \in {H^1}:v\left( 0 \right) = {k_n}v\left( 1 \right)} \right\}$ và đặt
\[a\left( {u,v} \right) = \int_0^1 {\left( {{u^\prime }{v^\prime } + uv} \right)} + \left( {\int_0^1 u } \right)\left( {\int_0^1 v } \right),u,v \in V\]
Gọi $u,u_n$ lần lượt là nghiệm của bài toán
\[a\left( {u,v} \right) = \int_0^1 {fv} ,\forall v \in V,a\left( {{u_n},w} \right) = \int_0^1 {fw} ,\forall w \in {V_n}\]
trong đó $f \in L^2$ cho trước.
Chứng minh rằng $u_n \to u$ trong $H^1$. Hỏi $u_n$ có hội tụ về $u$ trong $H^2$ không?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]